2002年度初二“希望杯”全国数学邀请赛第二试
一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.1.若a≠b,a,b,a?b都是有理数,那么a和b().(A)都是有理数.(B)一个是有理数,另一个是无理数.(C)都是无理数.(D)是有理数还是无理数不能确定.222222
2.已知a>b>c,M=ab+bc+ca,N=ab+bc+ca,则M与N的大小关系是().(A)M
(D)9时324.有理数a、b、c满足下列条件:a+b+c=0且abc<0,那么(A)是正数5.已知a?
3111
??的值是(abc8分11
).(B)是零(C)是负数3(D)不能确定是正数、负数或0).32,b?
32?m3?m,c?
3?m2?m,其中m>0,那么a,b,c的大小关系是((A)a>b>c(B)c>a>b;(C)a>c>b(D)b>c>a6.已知△ABC中,∠A=60°,BC=a,AC=b,AB=c,AP是BC边上的中线,则AP的长是((A)).12122122122a?b2?ab;(B)b?c?bc;(C)a?c?ac;(D)b?c?bc22227.(Figure1)IntheparallelogramABCD,AD=2AB,apointMismid-pointofsegmentAD,CE⊥AB,if∠CEM=40°,thenthevalueof∠DMEit().(A)150°(B)140°(C)135°(D)130°8.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是两组对边延长线的交点,EG、FG分别平分∠BEC、∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则∠EGF的大小是().(A)140°(B)130°(C)120°(D)110°EAE40?MDAD60?GBCF80?BC9.设ai=1989+i,当i取1,2,3,…,100时,得到100个分式55ii
?(如i=5,则=),aiai1989?51994在这100个分式中,最简分式的个数是().(A)50(B)58(C)63(D)6510.一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002,若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体,那么这样的长方体()(A)有6种(B)有12种(C)有14种(D)多于16种二、填空题:(每小题6分,共60分)11.某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元.对于吸收的存款每年应付2.25%的利息,吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该储蓄所为使内部核算没有亏损,每年至少应吸收存款____________________________万元.12.化简3?53?6?10?15,最后得_________.13.设x,y都是有理数,且满足方程?
?1???1??
??x????y?4???0,那么x-y的值是?23??32?
(填“>”,“<”或“=”)6
________.16131613
14.15与33的大小关系是15________33.15.IfNisnaturalnumber,andN?(3?2)?N?1,thenthevalueofNis______.(naturalnumber自然数)16.如果1?a1?b2
?,那么(2+a)(2+b)+b=__________.1?a1?b
17.如图所示的八个点处各写一个数字,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连1
a?b?c?d?(e?f?g?h)
2的三个点处的数字的平均数,则代数式:=_____.1a?b?c?d?(e?f?g?h)
318.2001年某种进口轿车每辆标价40万元人民币,买此种车时还需另外交纳汽车标价的80%的Ada关税,我国加入WTO后,进口车的关税将逐渐下降.预计到2006年7月1日,关税降到25%,又因BI为科技的发展使成本降低,到2006年7月1日,该种车的标价降到2001年的65%,那么2006年7he月1日后买一辆该种轿车将比2001年少付人民币______万元.HC19.在△ABC中,∠A=40°,H是△ABC的垂心,且H不与B、C重合,则∠BHC的大小等于_______.gf20.如图,正九边形ABCDEFGHI中,AE=1,那么AB+AC的长是_______.b
c
G
D
AF
E
E
FD
CQPB
三、解答题:(21题16分,22、23题各12分)要求:写出推算过程.21.如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F,BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.(1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立?请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.22.已知在等式ax?b
?s中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答:cx?d(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数;(2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数.23.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作;然后在AB的中点C0?2002
=1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对20?10011001?2002
应线段两端所标注的数字和的一半,即与,称为第三次操作;照此22
处标注下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少?2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、1.当两数不等时,两数的差为有理数,说明这两数都是有理数,所以a、b是有理数,选(A).222222222222222
2.M-N=(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)=ab+bc+ca-ab-bc-ca=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)∵a>b>c∴b-c>0,c-a<0,a-b>0222
∵a(b-c)≥0,b(c-a)≤0,c(a-b)≥0222
∴a(b-c)+c(a-b)>b(c-a)∴M-N>0.选(B).3.把时针转动速度以“度/分钟”为单位,分针转动速度是360
=6(度/分钟)60
18
再成直角所用时间为180?(6?)?32(分钟)211
8
所以下一次时针与分针成直角时间是32分,选(D).11
4.由abc<0知a、b、c均不为0.2222
∴(ab+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca)=03601
?(度/分钟)12?602122
(a+b+c+2)<02111bc?ac?ab
?0，选(A)∴???
abcabc
ab+bc+ca=-5.∵a33(3?m)??1，∴a>b;3b2(2?m)b(32?m)(2?m)??1,∴c>bc(3?m)(33?m)a33(2?m)??1,∴a>c3c2(3?m)∴a>c>b.选(C).6.如图延长中线AP到E,使PE=AP,连接EB,可得△ABC≌△APC,∴∠E=∠PAC,BE=AC=b.∴∠PAB+∠E=∠CAB=60°E∴∠ABE=120°;C作EF⊥AB延长线于F,∴∠EBF=180°-120°=60°∴∠BEF=300
∴BF=11
BE=b.222
P
A
B
F
3b222?b?在Rt△BEF中,根据勾股定理:EF=b+???.24??
b?3b2??c2?bc?b2.在Rt△AEF中,根据勾股定理:AE=?c???2?4?∴PA=211
AE=22c2?bc?b2.选(B)7.如图,连接CM,作MN⊥EC于N.∵AB⊥CE∴MN∥AB,且MN∥CD,从N为梯形AECD的中位数.由MN⊥CE,MN是EC边中线,∴△EMC为等腰△,∴∠ECM=∠MEC=40°∠EMC=180°-2×40°=100°∵∠ECD=∠AEC=90°,∴∠MCD=90°-40°=50°,又∵DC=1
AD=DM,∴∠MCD=∠DMC=50°,∴2∠EMD=∠EMC+∠CMD=100°+50°=150°.选(A)8.2∠4=360°-(60°-∠E)-(180°-∠F)=220°+∠E+∠FED111100
∠E+∠F,?2?60??E,?3?80??F,2222100010101∴∠C=360-(∠4+∠2+∠3)=360-110-∠E-∠F-60+∠E-80+∠F2222
∵∠4=110°+=360°-110°-60°-80°=110°选(D).9.当i=3n(n≤33);i=13n(n≤7);i=17n(n≤5)这些数时;F
60?A124380?G
C
B
i
不是质数,这样的数共有:ai
33+7+5=45(个)其中i=13×3=39,i=13×6=78与i=17×3=51时,与i=3n中的39,78,51重复,所以不是质数的数共有45-3=42个.所以100个分式中最简分式的个数是100-42=58个.选(B).3
10.∵x=2002=1×2×7×11×13,把1、2、7、11、13组成三数的乘积.有如下14种:1×1×20021×2×10011×7×2861×11×1821×13×1541×14×1431×22×911×26×772×7×1437×11×2611×2×9113×2×7714×11×1322×7×13选(C).二、11.设每年至少应吸收存款x万元,4.052.25
x?10?17?x100100x=1500万元应填1500.
2002年度初二 “希望杯”全国数学邀请赛第二试
