专题5 数学归纳法
【三年高考】
1,2,3,?,n?(n?N*)，1,2,3?，Yn??1．【2015江苏高考，23】 已知集合X??Sn??(a,b)a整除b或b整除a,
a?X,b?Yn?，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.
（1）写出f(6)的值；
（2）当n?6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明. 【解析】（1）f?6??13．
??nn?n?2????,n?6t??23????n?1n?1?n?2?????,n?6t?13??2???nn?2??n?2????,n?6t?223???（2）当n?6时，f?n???（t???）．
n?1n???n?2???,n?6t?3??23????n?2??n?n?1?,n?6t?4???3??2??n?2??n?1?n?2?,n?6t?5???3??2?下面用数学归纳法证明：
3）若k?1?6t?2，则k?6t?1，此时有f?k?1??f?k??2?k?2?k?1k?1??2 23??k?1??2?k?1?k?1??2，结论成立；4）若k?1?6t?3，则k?6t?2，此时有?23f?k?1??f?k??2?k?2?kk?2?k?1??1?k?1，结论成立；
??2??k?1??2?23235）若k?1?6t?4，则k?6t?3，此时有f?k?1??f?k??2?k?2?k?1k??2 23??k?1??2?k?1?k?1??1，结论成立；6）若k?1?6t?5，则k?6t?4，此时有?23f?k?1??f?k??1?k?2?立．
kk?1?k?1??1??k?1??2，结论成
??1??k?1??2?2323综上所述，结论对满足n?6的自然数n均成立． 2. 【2014江苏，理23】已知函数f0(x)?（1）求2f1()?sinx(x?0)，设fn(x)为fn?1(x)的导数，n?N* x??2f2()的值； 22*?（2）证明：对任意n?N，等式nfn?1()???4?2都成立. fn()?442【答案】(1)?1；（2）证明见解析．
sinxcosxsinx)'??2， xxxcosxsinxsinx2cosx2sinx， f2(x)?f'1(x)?(?2)'????23xxxxx?4?216所以f1()??2，f2()???3，
2?2??【解析】（1）由已知f1(x)?f'0(x)?(故2f1()???2f2()??1.
22?
（1）n?1时命题已经成立，
（2）假设n?k时，命题成立，即kfk?1(x)?xfk(x)?sin(x?对此式两边求导可得kf'k?1(x)?fk(x)?xf'k(x)?cos(x?即(k?1)fk(x)?xfk?1(x)?sin(x?k?)， 2k?k?1)?sin(x??)， 22k?1?)，因此n?k?1时命题也成立. 2n?综合（1）（2）等式nfn?1(x)?xfn(x)?sin(x?)对一切n?N*都成立.
2?????n?1令x?，得nfn?1()?fn()?sin(??)，
444442所以nfn?1()???4?2. fn()?4423．【2016山东文12】观察下列等式：
π2π4(sin)?2?(sin)?2??1?2；
333π2π3π4π4(sin)?2?(sin)?2?(sin)?2?(sin)?2??2?3；
55553π2π3π6π4(sin)?2?(sin)?2?(sin)?2?????(sin)?2??3?4；
77773π2π3π8π4(sin)?2?(sin)?2?(sin)?2?????(sin)?2??4?5；
99993…… 照此规律，
π?22π?23π?22nπ?2)?(sin)?(sin)?????(sin)?_________． 2n?12n?12n?12n?14【答案】?n??n?1?
34【解析】通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是，接下来是和项数有
34关的两项的乘积，经归纳推理可知是n?n?1?，所以第n个等式右边是?n??n?1?.
3(sin4．【2015高考山东，理11】观察下列各式：
C10?40
1C30?C3?41
1C50?C5?C52?42;
0123C7?C7?C7?C7?43
高考数学总复习必做数学归纳法试题含解析
