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第三节 函数项级数的一致收敛性
本节将讨论函数项级数有关性质。
定义 1 设 u1(x)，u2(x)，……，un(x)，……，是集合E上的函数列，我们称形为
u1(x)+u2(x)+……+un(x)+……
为E上的函数项级数，简记为
?un?1?n(x) 。其中un(x)称为第n项.
?uk(x)+uk?1(x)+……+un(x)+……也记为?un(x). 记号中n可以用其它字母代之.
n?k 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设
?un?1?n(x)是集合E上的函数项级数，记
nSn(x)??ui(x)=u1(x)+u2(x)+……+un(x)，
i?1它称为级数
?un?1?n(x)的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. ?Sn(x)?称为
?un?1?n(x)的部分和函数列。
?如果?Sn(x)?在x0点收敛，我们也说
???un?1n(x)在x0点收敛或称x0为该级数的收敛点。
如果
?|un?1n(x)|在x0点收敛，我们称?un(x)在x0点绝对收敛。非常容易证明绝对收敛一
n?1定收敛。
?Sn(x)?的收敛域也称为该级数的收敛域。如果?Sn(x)?在x0点不收敛，我们说
?un?1?n(x)在x0点发散。
?如果?Sn(x)?在D上点态收敛于S(x)，我们称
?un?1n(x)在D上点态收敛于S(x). S(x)称为该级数的的和函数。Rn(x)?S(x)?Sn(x)称为该级数关于前n 项部分和的余项.
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?Rn(x)?称为该级数的余项函数列.
如果?Sn(x)?在D上一致收敛于S(x)，我们称
??un?1?n(x)在D上一致收敛于S(x)，或
??un?1n(x)在D上一致收敛. 如果?Sn(x)?在D上内闭一致收敛于S(x)，我们称?un(x)在
n?1D上内闭一致收敛.
用??N的进行叙述将是： 设
?un?1?n(x)是D上函数项级数，S(x)是D上函数。 若对任意?>0，总存在一个正数
正数N（只能依赖于?，绝对不依赖于x），当n?N时，对一切的x?D，总有
|?ui(x)?S(x)|??，
i?1n则称该函数项级数在D上一致收敛于S(x). 同样一致收敛一定点态收敛.
例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数）
?xn?1?n?1?1?x?x2????xn???
1?xn的部分和函数是Sn(x)? .显然当|x|<1时
1?xlimSn(x)?n??1 . 1?x
|x|?1时，几何级数是发散的。其收敛域是（—1，1）. 显然几何级数在（—1，1）上不是
一致收敛的.
函数列的有关结论，都可以不加证明地推广到函数项级数. 定理11. 8 （函数项级数一致收敛Cauchy准则）函数项级数
?un?1?n(x)在集合D上一致收
敛的充分必要条件是： 对任意ε>0,总存在正数N，使得当正整数m，n，有 m>n>N时，对一切的x∈D,都有 | u n ? 1 ( ( x ) ? ? m。 ? . x ) ?u n ?1? u( x ) |? 精品文档
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?推论
?un?1n(x)在D上一致收敛的必要条件是?un(x)?在D上一致收敛于0。 反之未必
（请读者举例）.
定理11. 9 敛于0.
定理11. 10 （Weierstrass判别法）设
?un?1?n(x)在D上一致收敛的充分必要条件是其余项函数列?Rn(x)?一致收
?an?1?n是收敛的正项级数，
?un?1?n(x)是D上的函数项
级数。如果|un(x)|?an,x?D,n?1,2,3,??，则
??un?1?n(x)在D上一致收敛。
证明 因正项级数
?an?1n收敛，所以，任意?>0，存在正数N, 当 m,n?N (m>n) 时,
|an?1?an?1????am|??.
那么对任意x?D, |un?1(x)?un?1(x)????um(x)|?an?1?an?1????am??， 由Cauchy准则，得证。
sinnx(2)例 ?在（—∞，+∞）上一致收敛。 2n?1n?1?定理11. 11 （Abel判别法）设函数项级数
?bn?1?n(x)在D上一致收敛，函数列?an(x)?在D
上一致有界，即存在常数M, 使得|an(x)|?M，x?D，n?1,2,3,??，如果?an(x)?关于n是单调的，那么
?an?1?n(x)bn(x)在D上一致收敛。
证明 因
?bn?1?n(x)一致收敛，所以任意?>0，存在正数N, 当 m,n?N (m>n) 时,
对所有x?D, |bn?1(x)?bn?1(x)????bm(x)|?又
?3M?1。
k?n?1?an(x)bn(x)?m?3M?1(|an?1(x)|?2|am(x)|)??.
由一致收敛Cauchy准则即证。
定理11. 12 （Dirichlet判别法）设D上函数项级数精品文档
?bn?1?n(x)的部分和函数列在D上一致有
(整理)函数项级数的一致收敛性.
