很全抛物线焦点弦的结
论附答案
文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
[很全]抛物线焦点弦的有关结
论
知识点1：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设
p2A?x1,y1?,B?x2,y2?，则（1）x1x2?；（2）y1y2??p2 4证明：如图，
（1）若AB的斜率不存在时，
F p2p依题意x1?x2?,?x1x2?
42若AB的斜率存在时，设为k,则AB:y?k?x?p2p2?x1x2?. 综上：x1x2?.
44??p?2?，与y?2px联立，得 2?yy（2）?x1?1,x2?2，?y12y22?p4?y1y2??p2,
2p2p22但y1y2?0,?y1y2??p2 （2）另证：设AB:x?my?y2?2pmy?p2?0,?y1y2??p2
p与y2?2px联立，得2知识点2：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设
A?x1,y1?,B?x2,y2?，则（1）AB?x1?x2?p;（2）设直线AB的倾斜角为?，则AB?2p。 sin2?证明：（1）由抛物线的定义知 （2）若??900,则x1?x2?若??900,设AB:y?k?x???p2p ,由（1）知AB?2p?22sin?F p?2?,与y?2px联立，得 2?
pk2?22pk2?1?x1?x2?,?AB?x1?x2?p?，而k?tan?， 22kk????知识点3：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
证明：过点A、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为 A1、B1,过AB中点M向准线引垂线，垂足为N,
F 设以AB为直径的圆的半径为r,
?以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
知识点4：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。过点A、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1、B1,则?A1FB1?900。 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明
F 知识点5：若AB是过抛物线y?2px?p?0?的焦点F的弦，抛物线的准线与2x轴相交于点K，则?AKF??BKF.
证明：过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1. ?A1KA1AAKBK? ?1?1，而?AA1K??BB1K?900 F B1KB1BA1AB1B??AA1K∽?BB1K ??A1KA??B1KB
知识点6：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦，o为抛物线的顶点，连接AO并延长交该抛物线的准线于点C,则BC//OF. 证明：设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则
p2?y2 ?BC//OF 由知识点1知y1y2??p ?yC??2F p?y22逆定理：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦，过点B作BC//OF交抛物线准线于点C,则A、C、O三点共线。
证明略
知识点7：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦，设AF?m,BF?n,则
证法：（1）若AB?x轴，则AB为通径，而AB?2p,
F （2）若AB与x轴不垂直，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，AB的斜率为k，则p?p?k2p2?22?222l:y?k?x??与y?2px联立，得k?x???2px?kx?k?2px??0
224????2??由抛物线的定义知m?AF?x1?pp,n?BF?x2? 22知识点8：已知抛物线y2?2px?p?0?中，AB为其过焦点F的弦，
AF?m,BF?n,则
S?AOBp2?4?nm??? ??mn???证明：设?AFx??,则
F ppp2p2而m? ,n?,?mn?,?sin??21?cos?1?cos?mnsin?逆定理：已知抛物线y2?2px?p?0?中，AB为其弦且与x轴相交于点M，若
AM?m,BM?n,且S?AOBp2?4?nm???,则弦AB过焦点。 ??mn???证明：设A?x1,y1?,B?x2,y2?，?AMx??,M?t,0?，则
111S?AOB?S?AOM?S?BOM=tmsin??????tnsin???m?n?tsin?
222而sin??而S?AOBy1m,sin??y2n, ?sin2???y1y2 mnp2?4?np2m?1?m?n?p2???m?n??2mn2 ?t?y1y2?2① ??l:x?ay?t?2又可设2??y?2pay?2pt?0 ?y1y2??2pt②
y?2px?
由①②得t?p?p? ?AB恒过焦点?,0? 2?2?例1、过抛物线y2?4x的焦点做直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果
x1?x2?6，那么AB?_________. 8
变式：过抛物线y2?4x的焦点做直线交抛物线于A,B两点，如果AB?8，O为坐标原点，则?OAB的重心的横坐标是_________. 2
例2、直线l经过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由
A,B分别向准线引垂线AA',BB'，垂足分别为A',B'，如果A'B'?a，Q为A'B'的
中点，则QF? _________.（用a表示）
变式：直线l经过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA',BB'，垂足分别为A',B'，如果AR?a,BF?b，Q为A'B'的中点，
a2?b2则QF?_________.（用a,b表示）
2a2例3、设坐标原点为O，过焦点的直线l交抛物线y2?4x于A,B两点，OA?OB? -3
例4、过抛物线y?ax(a?0)的焦点F作一直线交抛物线于
P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p,q，则
2yA′(x1,y1)
11??_____. pqB′(x2,y2)x4 a小结：
（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；
（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.
很全抛物线焦点弦的结论附答案
