银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续
章节名称： 第一章 函数、极限与连续 教学内容与学时分配： 1、初等函数；2、数列的极限（2学时）；3、函数的极限；4、无穷小和无穷大（2学时）；5、极限的运算法则；6、极限存在准则及两个重要极限（2学时）；7、无穷小的比较；8、函数的连续性（2学时）； 9、闭区间上连续函数的性质（2学时）。 共计（10学时） 教学目的和要求： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 重点： 1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。 难点： 1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。 教学过程（教学环节设计与方法）： 1、引入； 2、概念、性质的证明； 3、例题分析； 4、小结。 教学手段： 探究式教学，讲练结合。 作业： 课后部分习题
第 38 页
银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续
第一节 初等函数 一、领域 有限区间: 设a ?? 银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例: 求函数y??x2?4的定义域. 要使函数有意义, 必须x?0, 且x2 ??4?0. 解不等式得| x |?2. 所以函数的定义域为D?{x | | x |?2}, 或D?(??, 2]?[2, ??]). 单值函数与多值函数: 在函数的定义中，对每个x?D, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x?D, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x和y之间的对应法则由方程x2?y2?r2 给出. 显然, 对每个x?[?r, r]，由方程x2?y2?r2,可确定出对应的y值, 当x?r或x??r时, 对应y?0一个值; 当x取(?r, r)内任一个值时, 对应的y有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数. 对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x2?y2?r2给出的对应法则中, 附加“y?0”的条件, 即以“x2?y2?r2且y?0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支y?y1(x)?r2?x2; 附加“y?0”的条件, 即以“x2?y2?r2且y?0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支y?y2(x)??r2?x2. 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集 {P(x, y)|y?f(x), x?D} 称为函数y?f(x), x?D的图形. 图中的R f 表示函数y?f(x)的值域. 1x?0 , t?a例1. 函数ua??，值域为(a?R),其定义域为（-?，a）?（a，??）1 ,t?a??0，1?.此函数在电子技术中经常遇到，称为单位阶跃函数，这种用两个以上解析式表示的函数成为分段函数。该函数的图形如图所示。 x x?0 例2. 函数y?|x|??. ???x x?0称为绝对值函数. 其定义域为D?(??, ??), 值域为R f ?[0, ??). ?1 x?0? 例3. 函数y?sgnx??0 x?0. ??1 x?0?称为符号函数. 其定义域为D?(??, ??), 值域为R f ?{?1, 0, 1}. 第 38 页 银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 例4.设x为任上实数. 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作[ x ]. 函数 y ? [ x ] 称为取整函数. 其定义域为D?(??, ??), 值域为R f ?Z . []?0, [2]?1, [?]?3, [?1]??1, [?3. 5]??4. 三、函数的简单性质 (1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D, 数集X?D. 如果存在数K1, 使对任一x?X, 有f(x)?K1, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界. 图形特点是y?f(x)的图形在直线y?K1的下方. 如果存在数K2, 使对任一x?X, 有f(x)? K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y?f(x)的图形在直线y?K2的上方. 如果存在正数M, 使对任一x?X, 有| f(x) |?M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y?f(x)的图形在直线y? ??M和y ? M的之间. 函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1?X, 使| f(x) | > M. 例如 (1)f(x)?sin x在(??, ??)上是有界的: |sin x|?1. (2)函数f(x)?1在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, x57无上界. 这是因为, 对于任一M>1, 总有x1:?0?x1?1?1, 使 M f(x1)?1?M, x1所以函数无上界. 函数f(x)?1在(1, 2)内是有界的. x (2)函数的单调性 设函数y ? f(x)的定义域为D, 区间I ?D. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1 银川能源学院《高等数学》教案 第一章 函数、极限与连续 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x?D, 则?x?D). 如果对于任一x?D, 有 f(?x) ? f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果对于任一x?D, 有 f(?x) ? ?f(x), 则称f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: y?x2, y?cos x 都是偶函数. y?x3, y?sin x都是奇函数, y?sin x?cos x是非奇非偶函数. (4)函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一x?D有(x?l)?D, 且 f(x?l) ? f(x) 则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 四、反函数与复合函数 1、反函数: 设函数f : D?f(D)是单射, 则它存在逆映射f ?1: f(D)?D, 称此映射f ?1为函数f的反函数. 按此定义, 对每个y?f(D), 有唯一的x?D, 使得f(x)?y, 于是有 f ?1(y)?x. 这就是说, 反函数f ?1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. 一般地, y?f(x), x?D的反函数记成y?f ?1(x), x?f(D). 若f是定义在D上的单调函数, 则f : D?f(D)是单射, 于是f的反函数f ?1必定存在, 而且容易证明f ?1也是f(D)上的单调函数. 相对于反函数y?f ?1(x)来说, 原来的函数y?f(x)称为直接函数. 把函数y?f(x)和它的反函数 y?f ?1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y?x是对称的. 这是因为如果P(a, b)是y?f(x)图形上的点, 则有b?f(a). 按反函数的定义, 有a?f ?1(b), 故Q(b, a)是y?f ?1(x)图形上的点; 反之, 若Q(b, a)是y?f ?1(x)图形上的点, 则P(a, b)是y?f(x)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y?x对称的. 2、复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数y?f(u)的定义域为D 1, 函数u?g(x)在D上有定义且g(D)? D 1, 则由下式确定的函数 y?f[g(x)], x?D 称为由函数u?g(x)和函数y?f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数g与函数f构成的复合函数通常记为f?g, 即 第 38 页
第一章 函数与极限(1)
