高等数学 简明二阶微分方程讲义
作者：齐睿添
————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际问题的解决
讨论0. 欧拉公式
欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用.
讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程
实际问题1.
如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）.
物体的位置随时间如何变化？
设位置函数 x=x(t)
已知: F弹=-kx,f=-cv
故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma
即a+(c/m)v+(k/m)x=0
得到微分方程：
记
得到形如下式的方程（*）
这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程
(上表的具体推导与证明详见教材P174-177)
可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的.
1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条.
例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s.
我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: 特征方程为
通解为
把初值条件带入 求得
故该例的解为图像
，有两个不相等实根
.
2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条.
例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为
带入初值条件
C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为
讨论2. 更高阶的常系数线性齐次微分方程
（上图出自教材P178） 问题1.
求解 （该问题出自教材P181练习）
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