阶梯奥数
解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现 (1)的规律是：前项+3=后项。所以应填16。 (2)的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36。 (3)的规律是：前项×3=后项。所以应填54，162。 (4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填5，1。 (5)的规律是：数列各项依次为
1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 所以应填5×5=25。 (6)的规律是：数列各项依次为
2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5， 所以，应填 5×6=30， 6×7=42。
说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。各数列的第n项分别可以表示为 (1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n；
(3)an＝2×3；(4)an＝5；(5)an＝n；(6)an＝n(n+1)。
这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列(1)的第100项等于3×100+1=301。本例中，数列(2)(4)只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。 例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)1，2，2，3，3，4，( )，( )； (2)( )，( )，10，5，12，6，14，7； (3) 3，7，10，17，27，( )； (4) 1，2，2，4，8，32，( )。
解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。 (2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。 (3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填( 17+27=)44。 (4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(8×32=)256。 例3 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)18，20，24，30，( )； (2)11，12，14，18，26，( )； (3)2，5，11，23，47，( )，( )。
解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故 a5=8+30=38。
(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。
(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以 a6=2a5+1＝2×47+1＝95， a7＝2a6+1＝2×95+1=191。
例4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )； (2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。
解：(1)数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17， 22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。故应填27，60。
(2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，… 中，4后面的数应为2。故应填11，2。 练习5
1、按其规律在下列各数列的( )内填数。 1.56，49，42，35，( )。 2.11， 15， 19， 23，( )，…
n-1
5-n
2
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3.3，6，12，24，( )。 4.2，3，5，9，17，( )，… 5.1，3，4，7，11，( )。 6.1，3，7，13，21，( )。
7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。 8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。 9.2，5，10，17，26，( )。
10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。 11.数列1，3，5，7，11，13，15，17。
(1)如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？ (2)如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？ 答案与提示 练习 1.28。 2.27。 3.48。
4.33。提示：“后项-前项”依次为1，2， 4，8，16，… 5.18。提示：后项等于前两项之和。
6.31。提示：“后项-前项”依次为2，4，6，8，10。 7.3，20。 8.11，6。
9.37。 提示：an=n+1。
10. 24，15。提示：奇数项为15，18，21，24；偶数项为21，19，17，15。 11.(1)缺9，在7与11之间；(2)多15，因为除15以外都不是合数。
2
2、观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数. ①2，5，8，11，（ ），17，20。 ②19，17，15，13，（ ），9，7。 ③1，3，9，27，（ ），243。 ④64，32，16，8，（ ），2。 ⑤1，1，2，3，5，8，（ ），21，34… ⑥1，3，4，7，11，18，（ ），47… ⑦1，3，6，10，（ ），21，28，36，（ ）. ⑧1，2，6，24，120，（ ），5040。 ⑨1，1，3，7，13，（ ），31。 ⑩1，3，7，15，31，（ ），127，255。 (11)1，4，9，16，25，（ ），49，64。
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(12)0，3，8，15，24，（ ），48，63。 (13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（ ）. (14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（ ）. 分析与解答
①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。
② 同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11。 不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列. ③1，3，9，27，（），243。
此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.因此，括号中应填 81，即 81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3。 ④64，32，16，8，（），2
与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：
因此，括号中填4，代入后符合规律。
综合③④考虑，数列③是递增的数列，数列④是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的商都相等.像③④这样的数列，我们把它称为等比数列。 ⑤ 1， 1， 2， 3， 5， 8，（ ）， 21， 34…
首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。
这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的
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斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。 ⑥1， 3， 4， 7， 11， 18，（ ），47…
在学习了数列⑤的前提下，数列⑥的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即 29=11＋18。
数列⑥不同于数列⑤的原因是：数列⑥的第2项为3，而数列⑤为1，数列⑥称为鲁卡斯数列。 ⑦1，3，6，10，（ ）， 21， 28， 36，（ ）。 方法1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：
因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确。 方法2：其实，这一列数有如下的规律： 第1项：1=1 第2项：3=1＋2 第3项：6=1+2+3 第4项：10=1+2+3+4 第5项：（ ）
第6项：21=1+2+3+4+5+6 第7项：28=1+2+3+4+5+6+7 第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8 第9项：（ ）
即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，
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第五项为15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5； 第九项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。 ⑧1，2，6，24，120，（ ），5040。
方法1：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：
所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即 720=120×6。
方法2：受⑦的影响，可以考虑连续自然数，显然： 第1项 1=1 第2项 2=1×2 第3项 6=1×2×3 第4项 24=1×2×3×4 第5项 120=1×2×3×4×5 第6项 （ ）
第7项 5040=1×2×3×4×5×6×7 所以，第6项应为 1×2×3×4×5×6=720 ⑨1，1，3，7，13，（ ），31 与⑦类似：
阶梯奥数三年级讲义(教师版)
