例 4
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三 .多面体几何性质法
例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是
A.
16
B.
20
C.
24
D.
32
.选 C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的 .
四.寻求轴截面圆半径法
正四棱锥 S
ABCD
的底面边长和各侧棱长都为2
，点
S、 A、B、C、 D
都在同一球面上，则此球的体积为
S
.
D
解C
设正四棱锥的底面中心为
O
1
，外接球的球心
O1
A
图 3
B
为 O
，如图 1 所示 .∴由球的截面的性质，可得
OO1
平面 ABCD .
又平面
SO
1
ABCD
，∴球心 O 必在 SO1 所在的直线上 .
∴
ASC
的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径
就是外接球的半径 .
在 ASC中，由 SA SC
2，AC
2 ，得 SA2 SC2
AC 2 .
∴ ASC是以 AC为斜边的 Rt .
AC
1
V 球
4 3
2∴ 是外接圆的半径，也是外接球的半径
.故
.
小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆， 于是该圆的半径就是所求的外接球的半
径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方
法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆， 从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究 .这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 .
五 .确定球心位置法
例 5
在矩形 ABCD 中， AB4, BC 3
，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一
个直二面角 125
BAC D
，则四面体125
ABCD 的外接球的体积为125
12A.
B.
9
C.
6
D A
125 3D.
O 图4
C
B
解 设矩形对角线的交点为
O
，则由矩形对角线互
OAOBOCOD O
相平分，可知 .∴点 到四面体的四个顶点 A、B、C、D
的距离相等，即点 为四面体的外接球的球心，如图 2 所
R OA
5
V
球
O
4 R3
125
.故 示.∴外接球的半径 3 6
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
2.选 C.
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角
形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球
的球面上， 且
，
，
且
， ， 所以知
,求球 ，
的体积。
解：
， ,
因为
所以
所以可得图形为：
在
中斜边为
在
中斜边为
取斜边的中点 在
，
中 中
在
所以在几何体中
，即为该四面体的外接球的球
心
所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
1. （陕西理 ?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
1 的球面上，
其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上， 则该正三棱锥的体积 是（ A．
3 3
）
B． B
3
C
．
4 3
3 4
D
．
12
3
答案
2. 直三棱柱 ABC A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上，若
AB AC AA1 2,
BAC 120 ，则此球的表面积等于 。
3 ,由正弦定理 ,可
解:在 ABC中 AB AC 2 , BAC 120 ,可得 BC 2 得 ABC
外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为 O ，在 RT OBO 中，易得
球半径 R
5 ，故此球的表面积为 4 R2
20
.
3．正三棱柱 ABC 为 ，则正三棱
A1 B1C1 内接于半径为 2 的球，若 A, B 两点的球面距离
柱的体积为
．
答案
8
4. 表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上， 则此球的体积为
A．
2
B ．
A
1
C．2
D．
22
3
3 3
3
答案
【解析】 此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形，所以由
8
3a2 4
2 3知，
a 1 ，则此球的直径为 2 ，故选 A。
5. 已知正方体外接球的体积是 32
，那么正方体的棱长等于（
）
C.
3
2
B. 2 3
3
42
3
D.
4 3
3
答案
D
6. （2006 山东卷） 正方体的内切球与其外接球的体积之比为
A. 1∶
( )
3
3
B. 1∶3 C. 1∶3
D. 1∶9 答案
C
7. （2008 海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且
9
该六棱柱的体积为 ，底面周长为 3，则这个球的体积为
8
．
答案
4
3
8. （ 2007 天津理 ?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为
．
答案
14π
9.（ 2007 全国Ⅱ理 ?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为
cm.
2
高考数学中的内切球和外接球问题附习题.docx
