课题：直线的倾斜角和斜率(1)
课 型：新授课 教学目标: 知识与技能
1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2.理解直线的倾斜角的唯一性. 3.理解直线的斜率的存在性.
4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 情感态度与价值观
1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程：
1.直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
YabcOPX
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. ．．．问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾斜角α. ．．．P．．．．．．．．2.直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 3.直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式：
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90, 直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 4．例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角. 例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.
分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作
45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y－0)／(x－0)，所以 x = y
可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a.同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) 5．练习: P86 1. 2. 3. 4. 课堂小结:
(1)直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 直线的斜率公式.
课后作业: P89 习题3.1 1. 2. 3.4 课后记:
课题：直线的倾斜角和斜率(2)
课 型：习题课 教学目标：
1.进一步加深理解直线的倾斜角和斜率的定义 2.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率 3.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角 4.培养学生分析探究和解决问题的能力. 教学重点：直线的倾斜角和斜率的应用
教学难点：斜率概念理解与斜率公式的灵活运用 教学过程
1．复习：1)说出倾斜角和斜率的概念，它们都反映了直线的什么牲特征？ 2) 斜率的计算公式是什么？ 2.巩固练习：
1)已知直线的倾斜角，口答直线的斜率： (1)?＝0°；（2）?＝60°；(3)?＝90°；（４）150° 2).直线l经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是
3).过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 4).已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是. 5).已知M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是. 6).已知O(0，0)、P(a,b)(a≠0)，直线OP的斜率是. 7).已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)，当x1?x2时，直线P1P2的斜率k =；当x1?x2且y1?y2时，直线P1P2的斜率为 3．例题分析：
1例1.若三点A(2,3)，B(3,?2)，C(,m)共线，求m的值
2?2?3m?321解：kAB?kAC? ??m?13?22?22说明：本题旨在让学生了解斜率也可研究直线的位置关系，为下节课的学习打基础
例2．如果直线l经过A(－1,2m)、B(2，m2)二点，求直线l的斜率K的取值范围。 例3．若直线l的斜率为函数
f(a)?a2?4a?3(a?R)的最小值，判定直线的倾斜角是锐角还是钝角？例4.已知两点A(－3,4)、B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.( k≤－1或k≥3)
4．提高练习
1.若直线l过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为,倾斜角为
2.已知直线l1的倾斜角为?1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角?2为________.
13已知两点A(x,－2),B(3,0),并且直线AB的斜率为，则x=
24斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值是( ) A.a=4,b=0 B.a=－4,b=－3 C.a=4,b=－3 D.a=－4,b=3
5已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
3333A.k≥或k≤－4 B.－4≤k≤ C.≤k≤4 D.－≤k≤4
4444归纳小结：解题时，要重视数学思想方法的应用. 作业布置：完成全优设置相关练习. 课后记:
课题：两条直线的平行与垂直
课 型：新授课
教学目标：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用． 教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注
意解决好这个问题．
教学过程：
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直． 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系) ∴tgα1=tgα2． 即 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2． 由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°， ∴α1=α2．
又∵两条直线不重合， ∴L1∥L2．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前．．．．．．．．提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
数学《直线的倾斜角和斜率》教案
