华东理工大学
概率论与数理统计 作业簿（第五册）
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第十三次作业
一． 填空题：
1．已知二维随机变量(?,?)的联合概率分布为
? 0 1 ? 0 1 2 则
0.1 0.15 0.25 0.2 0.15 0.15 ??1.05E??0.5E?0.25E?max(1.2 E??______,____,sin(???)??_______,?,?)??_______,?2??0.36。 D?max(?,?)??_______2. 设随机变量?1,?2,?3相互独立，?1~U(0,6)，?2~N(0,4)，?3~E(3)，则：
E(?1?2?2?3?3)= ____12___，D(?1?2?2?3?3)= ___46__。
3. 已知X~N(?2,0.42)，则E(X?3)2=1.16 。
4. 设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则D(3X?Y)= 7.4 。
二． 选择题：
1) 设?~N(0,1)，?~N(0,4)，?????，下列说法正确的是（ B ）。
A. ?~N(0,5) B. E??0 C. D??5 D. D??3
12）设X1,X2,X3相互独立同服从参数??3的泊松分布，令Y?(X1?X2?X3)，
3则E(Y2)=（ C ）
A. 1. B. 9. C. 10. D. 6. 3）设X~P(?)，且E?(X?1)(X?2)??1，则?= ( A )
A. 1， B. 2， C. 3， D. 0 三． 计算题：
1. 设二维随机变量(?,?)的联合概率密度函数为
?1?(x?y)0?x?2,0?y?2 p(x,y)??8
?其他?0求E?,E?,E(??)。 解：E????xp(x,y)dxdy?D2127dxx(x?y)dy??E? ??00862124 E(??)???xyp(x,y)dxdy??dx?xy(x?y)dy?
0803D2. 二维随机变量(?,?)服从以点(0, 1)，(1, 0)，(1, 1)为顶点的三角形区域上的均匀分布，试求E(???)和D(???)。 解:
?2, (x,y)?G,(?,?)～p(x,y)??
0, (x,y)?G,?E(???)??dy?2(x?y)dx?01?y114, 311,
01?y611161D(???)?E(???)2?[E(???)]2???
69183. 有10个人同乘一辆长途汽车，沿途有20个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车。设每位乘客在各站下车是等可能的，且各乘客是否下车是相互独立的，求停车次数的数学期望。 E(???)??dy?2112(x?y)2dx??1, 第i站有人下车,解：设?i??
?0, 第i站没人下车, 则
P{?i1??0}?P{10个人在第i站都不下车}???1??，
?20?10101??从而P{?i?1}?1??1??
?20?1??于是E?i?0?P{?i?0}?1?P{?i?1}?1??1??,
20??长途汽车停车次数???1??2????20，故
10E??E?1?E?2???E?20
??19?10??20?1????
??20????
第十四次作业
一．填空题：
1．已知D??4,D??9，则当D(???)?12时，???17.8D(???)?_______。
112；当??____???0.4时，
2. 设D(X)?25,D(Y)?36,?xy?0.4，则D(X?Y)? 85 。
?,?)? 23. 设二维随机变量(?,?)~N(1,4;1,4;0.5)，?????，则cov( .
二. 选择题：
1. 已知随机变量X与Y独立同分布，记U?X?Y，V?X?Y，则U与V必
（ D ）
A. 独立 B. 不独立 C. 相关 D.不相关 2. 设随机变量?与?的方差存在且不等于0，则D(???)?D??D?是?与?
（ C ）
A. 独立的充要条件 B. 独立的充分条件，但不是必要条件 C. 不相关的充要条件 D. 不相关的充分条件，但不是必要条件
3. 对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)?E(Y)，则 （B ）
A）D(XY)?D(X)?D(Y) B）D(X?Y)?D(X)?D(Y) C）X和Y独立 D）X和Y不独立
三. 计算题：
1. 已知二维随机变量(?,?)的联合概率分布为
? 0 1 2 3 ? 1 3 0 11 0 0 8833 0 88(1)求???；(2) ?与?是否独立？说明理由。
解:
(1)边际分布 ? P(??i) 1 3 3 40 1 41 2 3 ? P(??j) 于是,
1 83 83 81 831313313E??1??3??, E??0??1??2??3??,
442888823319再由联合分布得E???1?1??1?2??3?3??,
8884933从而cov(?,?)????0, 故????0
4223(2)由于P(??1)?P(??0)?, 而P(??1,??0)?0, 故?,?不独立.
322. 设二维随机变量(?,?)的联合概率密度函数为
?3x0?y?x?1 p(x,y)??
0其他?求?与?的相关系数。
解: 先分别求出
11113332, E???dy?3xdx?, E???dy?3xydx?,
0y0y0y1048111131232E???dy?3xdx?, E???dy?3xy2dx?,
0y0y55E????dy?3x2ydx?1133331?3?193?3?3cov(?,?)????, D??????, D??????,
10481605?8?3205?4?80故
22????cov?(?,)?D(?)?D?()31603. ?38?01932057
3. 设二维随机变量(X,Y)的相关系数为?XY，而??aX?b,??cY?d，其中
a,b,c,d为常量，并且已知ac?0，试证?????XY。
证明：????
cov(aX?b,cY?d)D(aX?b)?D(cY?d)?accov(X,Y)acDX?DY??XY
4. 设两个随机变量?,?，E???2,E??4,D??4,D??9,?????0.5，求
E(3?2?2????2?3)。 解
华东理工大学概率论答案-13,14
