（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B?PD?A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设AC，BD的交点为E，由线面平行性质定理得PD?ME，再根据三角形中位线性质得M为PB的中点．（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小【详解】（1）设AC，BD的交点为E，连接ME．因为PD?平面MAC，平面MAC?平面PDB?ME，所以PD?ME．因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点．?26；（3）．39
（2）取AD的中点O，连接OP，OE．因为PA?PD，所以OP?AD．又平面PAD?平面ABCD，且OP?平面PAD，所以OP?平面ABCD．因为OE?平面ABCD，所以OP?OE．因为ABCD是正方形，所以OE?AD．如图，建立空间直角坐标系O?xyz，则P0,0,2，D?2,0,0?，B??2,4,0?，??????????
所以BD??4,?4,0?，PD?2,0,?2．??-16-?????设平面BDP的法向量为?n??x,y,z?，则??n?BD?n?????PD??0??4x?4y?0?0，即???
2x?2z?0．令x?1，则y?1，z?2，于是?
n??1,1,2?．???
平面PAD的法向量为?p???0,1,0?，所以cos?n,?p??n??n?pp??12．由题知二面角B?PD?A为锐角，所以它的大小为?3．（3）由题意知M?????1,2,2?
??????2?2??，C?2,4,0?，?
MC???
?3,2,?2??．??设直线MC与平面BDP所成角为?，则sin??cos?n,???MC??
?n?????MC??
26n???MC
???
9．所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为269．-17--18-
【精准解析】重庆市2024-2024学年高二上学期11月月考数学试题
