学 习 资 料 汇编
第3讲 圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1.已知F1,F2是椭圆+y=1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则PF1·PF2的最大
4值是( )
A.-2 C.2
B.1 D.4
→
→
x2
→
2
→
解析:设P(x,y),依题意得点F1(-3,0),F2(3,0),PF1·PF2=(-3-x)(3-→→
3232
x)+y=x+y-3=x-2,因为-2≤x≤2,所以-2≤x-2≤1,因此PF1·PF2的最大值
44
2
2
2
是1.
答案:B
2.(2017·沈阳二模)若点P为抛物线y=2x上的动点,F为抛物线的焦点,则|PF|的最小值为( )
A.2 1
C. 4
1B. 21D. 8
2
2
解析:根据题意,点P在抛物线y=2x上,设P到准线的距离为d,则有|PF|=d,抛1122
物线的方程为y=2x,即x=y,其准线方程为y=-,所以当点P在抛物线的顶点时,d2811
有最小值,即|PF|min=. 88
答案:D
3.(2017·北京西城区调研)过抛物线y=43x的焦点的直线l与双曲线C:-y=1
2的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2),若x1·x2>0,则k的取值范围是( )(导学号 55410132)
2
x2
2
?11?A.?-,?
?22?
1??1??B.?-∞,-?∪?,+∞? 2??2??
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C.?-????
22?,? 22?
2??2?
?∪?,+∞? 2??2?
222
x,当k>或k<-时,l与双曲线的右支有222
D.?-∞,-
解析:易知双曲线两渐近线y=±两个交点,满足x1x2>0.
答案:D
x2y2
4.(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C:+=1的焦点在x轴上,点A,B是长轴的两端点,
3m若曲线C上存在点M满足∠AMB=120°,则实数m的取值范围是( )
A.(3,+∞) C.(0,3)
B.[1,3) D.(0,1]
解析:依题意,当0<m<3时,焦距在x轴上,要在曲线C上存在点M满足∠AMB=120°, 则≥tan 60°,即答案:D
5.在直线y=-2上任取一点Q,过Q作抛物线x=4y的切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过的点的坐标为( )
A.(0,1) C.(2,0)
B.(0,2) D.(1,0)
2
ab3
m≥3.解得0<m≤1.
121
解析:设Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为y=x,则y′=x,则
4211
在点A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1),化简得y=-x1x-y1,
22
同理,在点B处的切线方程为
y=-x2x-y2,
又点Q(t,-2)的坐标适合这两个方程, 11
代入得-2=-x1t-y1,-2=-x2t-y2,
22这说明A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程 1
-2=-xt-y,
2
1
则直线AB的方程为y-2=-tx,直线AB恒过点(0,2).
2答案:B
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12
二、填空题
x2y22
6.设双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y=x的一个交点的横
ab坐标为x0,若x0>1,则双曲线C的离心率e的取值范围是________.
x2y2b解析:双曲线C:2-2=1的一条渐近线为y=x,
abay=x,??b22
联立?b消去y,得2x=x.
ay=x??ab222
由x0>1,知2<1,b<a.
ac2a2+b2
所以e=2=2<2,因此1<e<2.
aa22
答案:(1,2)
7.已知抛物线C:x=8y的焦点为F,动点Q在C上,圆Q的半径为1,过点F的直线→→
与圆Q切于点P,则FP·FQ的最小值为________.
→→→→
22
解析:如图,FP·FQ=|FP|=|FQ|-1.
2
→
由抛物线的定义知:|FQ|=d(d为点Q到准线的距离),易知,抛物线的顶点到准线的→→→
距离最短,所以|FQ|min=2,所以FP·FQ的最小值为3.
答案:3
8.(2017·济南模拟)已知抛物线y=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过
2
A,B分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________.
解析:不妨设A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)(y2<0). 则|AC|+|BD|=x2+y1=+y1.
4又y1y2=-p=-4.
2
y22
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4
所以|AC|+|BD|=-(y2<0).
4y2
4
利用导数易知y=-在(-∞,-2)上递减,在(-2,0)上递增.所以当y2=-2时,
4y2
|AC|+|BD|的最小值为3.
答案:3 三、解答题
y22
y22
x2y233??
9.(2017·西安调研)已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的离心率为,点P?1,?在
ab22??
椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ,yQ)(点Q异于点P),若0<xQ<1,求直线l斜率k的取值范围.
?a=2,
??b=1,
解:(1)由题意得?13解得?
+=1,a4b?c=3,??a=b+c,
2
2
2
2
2
c3
=,a2
故椭圆E的方程为+y=1.
4
3x2
(2)设直线l的方程为y-=k(x-1),代入方程+y=1,
24消去y,得(1+4k)x+(43k-8k)x+(4k-43k-1)=0, 4k-43k-1
所以xQ·1=. 2
1+4k因为0<xQ<1,
4k-43k-1
所以0<<1, 2
1+4k4k-43k-1
>0,21+4k即 2
4k-43k-1
<1.2
1+4k2
2
2
2
2
2
2
x2
2
?????
2
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解得-
33-23+2<k<或k>,经检验,满足题意. 622
33-23+2
<k<或k>. 622
2
所以直线l斜率k的取值范围是-
10.(2017·新乡三模)已知抛物线C:x=2py(p>0)的焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(导学号 55410133)
(1)D是抛物线C上的动点,点E(-1,3),若直线AB过焦点F,求|DF|+|DE|的最小值;
→→→→
(2)是否存在实数p,使|2QA+QB|=|2QA-QB|?若存在,求出p的值;若不存在,说明理由.
解:(1)因为直线2x-y+2=0与y轴的交点为(0,2), 所以F(0,2),则抛物线C的方程为x=8y,准线l:y=-2. 设过D作DG⊥l于G,则|DF|+|DE|=|DG|+|DE|, 当E,D,G三点共线时,|DF|+|DE|取最小值为2+3=5.
2
(2)假设存在实数p,满足条件等式成立. 联立x=2py与2x-y+2=0, 消去y,得x-4px-4p=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4p,x1x2=-4p,所以Q(2p,2p). →→→→因为|2QA+QB|=|2QA-QB|, →→
所以QA⊥QB,则QA·QB=0.
因此(x1-2p)(x2-2p)+(y1-2p)(y2-2p)=0. (x1-2p)(x2-2p)+(2x1+2-2p)·(2x2+2-2p)=0, 5x1x2+(4-6p)(x1+x2)+8p-8p+4=0,
12
把x1+x2=4p,x1x2=-4p代入得4p+3p-1=0,解得p=或p=-1(舍去).
4→→→→
1
因此存在实数p=,使得|2QA+QB|=|2QA-QB|成立.
4
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2
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