例析归纳推理问题的求解策略
◇ 河北 薛久武
【期刊名称】高中数理化 【年(卷),期】2017(000)003 【总页数】2
归纳推理是现行普通高中数学教材中的重要内容.随着新课改的不断深入,归纳推理不但成为了数学学习中的热点与亮点,也成为高考中具有独特价值的考点.在最近几年的全国高考中涌现出了许多有关归纳推理的试题.本文将从数学模式的视角,对归纳试题进行分析,进而对归纳推理的基本思维模式进行初步的探讨. 例1 观察下列等式: ① cos 2α=2cos2α-1;
② cos 4α=8cos4α-8cos2α+1;
③ cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;
④ cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;
⑤ cos 10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1. 可以推测m-n+p=________.
以推理论证为主要手段的解题方法称之为代数推理．代数推理题往往以函数、方程、数列、不等式、导数等代数知识的综合为载体,考查考生逻辑思维、推理论证、运算求解、化归转化及综合运用知识分析问题和解决问题等数学能力．代数推理题综合性强、区分度大,对考生的数学能力要求较高,因而成为近年来数学高考把关题、压轴题的主要题型,且常考常新．
1 明确推理的结构模型
归纳推理思想就是在解决问题时,从特殊情况入手,通过观察、分析、概括,猜想出一般性结论.这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用.其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”,解题的关键在于正确的归纳.
本题推测m-n+p的值,因此分别求m、n、p的值,针对m、n、p所在的位置需要归纳出以下3组数据的结构模式: 1) 2,8,32,128,m; 2) 2,-8,18,-32,p; 3) 8,-48,160,n.
2 抽象概括各模型的结构特征
1) 求m的值.
注意到m是第⑤个式子中等号右边cos α最高次方项的系数,因此我们自然想到对前4个式子中等号右边cos α最高次方项的系数进行分析: 前4个式子中等号右边最高次方项的系数依次为2、8、32、128,不难看出2=21,8=23,32=25,128=27,…. 据此归纳猜想,得m=29=512. 2) 求p的值.
考虑前4个等式中等号右边余弦平方项的系数的绝对值与等式左边角的系数之间的关系(第⑤个等式中等号右边余弦平方项的系数为正): 规律1: 2=2×1,8=4×2,18=6×3,32=8×4,…. 据此归纳猜想:p=10×5=50.
规律2: 2=2×1=2×12;8=2×4=2×22;18=2×9=2×32;32=2×16=2×42.
据此归纳猜想:p=2×52=50. 3) 求n的值.
规律1: 受推测m值时出现2的幂及推测p值时出现平方数的启发,可把2的幂与平方数作为归纳的要素,这样便可以发现如下数量结构: 8=8×12;
48=8+8×5=8×12+8(12+22); 160=8+8×5+8×14=
8×12+8(12+22)+8(12+22+32). 由上述规律可以推测出n的值:
-n=8×12+8(12+22)+8(12+22+32)+ 8(12+22+32+42)=400.
规律2: 观察前4个等式中等号右边各项的系数和: 2-1=1,8-8+1=1,32-48+18-1=1, 128-256+160-32+1=1,
即前4个等式中等号右边各项的系数和都等于1．
据此归纳猜想,第5个等式中等号右边各项的系数和也应该等于1,即 m-1280+1120+n+p-1=1,从而m+n+p=162,于是n=-400. 综上,m-n+p=962.
3 反思总结
对于算式推理,应根据条件先写出或整理几个特殊的式子,观察式子的特点,然后归纳出一般结论．
例析归纳推理问题的求解策略
