数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 11 12 D B C A A B C D C
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．
213．x??y?2??25（或x?y?4y?21?0） 14．9
2222? 15．?0,???（或?0,???） 16．?，三、解答题
17．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． 解：（1）在△ABC中，A?B?C??，
由角A，B，C成等差数列，得2B?A?C． 解得B?（2）方法1：由sin?A?B??所以C??1??2??3．
222，即sin???C??，得sinC?． 222?4或C?3?． 4由（1）知B??3，所以C??4，即A?5?． 12所以sinA?sin5??????????sin????sincos?cossin 124646?46? ?23212?6??? ?． 222242?3?，所以A?B?或A?B?． 244方法2：因为A，B是△ABC的内角，且sin?A?B??由（1）知B??3，所以A?B?3?5?，即A?．以下同方法1． 412方法3：由（1）知B??3，所以sin?A???????22sinAcos?cosAsin?．即． ??3323?2 第 6 页 共 11 页
即
132sinA?cosA?．即3cosA?2?sinA． 22222即3cosA?2?22sinA?sinA．
因为cosA?1?sinA， 所以31?sin2A?2?22sinA?sin2A．
22??即4sinA?22sinA?1?0．解得sinA?因为角A是△ABC的内角，所以sinA?0． 故sinA?22?6． 42?6． 418．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． 解：（1）由题意可得，
x3y， 解得x?2，y?4． ??243648（2）记从兴趣小组A中抽取的2人为a1，a2，从兴趣小组B中抽取的3人为b1，b2，b3，则从兴趣小组A，B抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有?a1,a2?，?a1,b1?，?a1,b2?，?a1,b3?，?a2,b1?，
?a2,b2?，?a2,b3?，?b1,b2?，?b1,b3?，?b2,b3?共10种．
设选中的2人都来自兴趣小组B的事件为X，则X包含的基本事件有?b1,b2?，?b1,b3?，?b2,b3?共3种． 所以P?X??3． 103． 10故选中的2人都来自兴趣小组B的概率为
19．本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算
求解能力．满分14分．
P （1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO，
因为ABCD是正方形，所以点O是BD的中点．
因为点E是PD的中点，
所以EO是△DPB的中位线． 所以PBPEO．
因为EO?平面ACE，PB?平面ACE， 所以PBP平面ACE．
（2）解：取AD的中点H，连接EH， 因为点E是PD的中点，所以EHPPA．
B A OC H D E 第 7 页 共 11 页
因为PA?平面ABCD，所以EH?平面ABCD．
111PA?x． 所以VE?ACD?S?ACD?EH 2231113211 ???AD?CD?EH?gxgxgx?x?． 解得x?2．故AB的长为2．
6212332设AB?x，则PA?AD?CD?x，且EH?
20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分． 解：（1）因为数列?an?是首项为1，公比为2的等比数列，
n?1所以数列?an?的通项公式为an?2． 2因为数列?bn?的前n项和Sn?n．
2所以当n≥2时，bn?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1，
2当n?1时，b1?S1?1?2?1?1，所以数列?bn?的通项公式为bn?2n?1． （2）由（1）可知，
?b?bn2n?1?n?1． 设数列?n?的前n项和为Tn， an2?an?3572n?32n?1???L?n?2?n?1， ① 24822113572n?32n?1即Tn?????L?n?1?n， ② 22481622则 Tn?1??1?1???111112n?1?2??1?①－②，得Tn?1?1????L?n?2?1224822n1?2 ?3?n?1?2n?1 2n?bn?2n?32n?32n?3n， 所以．故数列的前项和为． T?6?6???nnn?1n?1222?an?21．本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分． 解：（1）当k?0时，直线方程为y?b，设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，
2由x?b?4，解得x1，，所以AB?x2?x1?24?b． ??4?b2222b2?4?b212?2． b?b4?b≤所以S?gABg22当且仅当b?4?b2，即b?2时，S取得最大值2．
2k?12（2）设圆心O到直线y?kx?2的距离为d，则d?．
因为圆的半径为R?2，所以
AB2k4． ?R2?d2?4?2?22k?1k?1第 8 页 共 11 页
于是S?2k4k12AB?d???2?1，
222k?1k?1k?1即k2?4k?1?0，解得k?2?3．
故实数k的值为2?3，2?3，?2?3，?2?3．
22．本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方
法．满分14分． 解法1：当a?0时，f?x??x?1，令f?x??0，得x?1，是区间??1,1?上的零点．
当a?0时，函数f?x?在区间??1,1?上有零点分为三种情况： ①方程f?x??0在区间??1,1?上有重根， 令??1?4a??1?3a??0，解得a??当a??当a?11或a?． 621时，令f?x??0，得x?3，不是区间??1,1?上的零点． 61时，令f?x??0，得x??1，是区间??1,1?上的零点． 2②若函数y?f?x?在区间??1,1?上只有一个零点，但不是f?x??0的重根， 令f?1?f??1??4a?4a?2?≤0，解得0?a≤1． 2③若函数y?f?x?在区间??1,1?上有两个零点，则
?a?0,?a?0,??22???12a?4a?1?0,???12a?4a?1?0,????11???1???1,?1???1,或 ??2a2a???f?1??0,?f?1??0,????f-1?0.????f?-1??0.解得a??．
综上可知，实数a的取值范围为?0,?．
2解法2：当a?0时，f?x??x?1，令f?x??0，得x?1，是区间??1,1?上的零点．
当a?0时，f?x??ax?x?1?3a在区间??1,1?上有零点?x?3a?1?x在区间??1,1?上有解
22?1????? 第 9 页 共 11 页
?a?1?x1?x在区间上有解． 问题转化为求函数在区间??1,1?上的值域． y??1,1??x2?3x2?3设t?1?x，由x???1,1?，得t??0,2?．且y?t?1?t?2?3?0．
而y?t?1?t?2?3?41．设g?t??t?，可以证明当t??0,2?时，g?t?单调递减． 4tt??2t事实上，设0?t1?t2?2，则g?t1??g?t2???t1???4??4??t1?t2??t1t2?4?， ?t???2??t1??t2?t1t2由0?t1?t2?2，得t1?t2?0，0?t1t2?4，即g?t1??g?t2??0． 所以g?t?在t??0,2?上单调递减． 故g?t??g?2??4．所以y?11?．
g?t??22故实数a的取值范围为?0,?．
2?1???
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【高中会考】2019年高二数学会考测试题(word版含答案)
