2019年全国高中数学联赛试题（ａ卷）含解析
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
２０１２年全国高中数学联赛试题〔Ａ卷〕 参考答案及评分标准
说明：
１、评阅试卷时，请严格按照本评分标准。填空题只设８分和０分两档；解答题第９题４分为一个档次，第１０、１１
题５分为一个档次。不要再增加其他中间档次。
２、对于解答题，如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适
当划分档次评分。
【一】填空题：本大题共８小题，每题８分，共６４分、把答案填在题中的横线上、 １、设Ｐ是函数ｙ＝ｘ＋２
ｘ〔ｘ＞０〕的图像上任意一点，过点Ｐ分别向直线ｙ＝ｘ和ｙ轴作垂线， 垂足分别为Ａ、Ｂ，那么、 解：－１、
【方法１】设Ｐ〔ｘ０，ｘ０＋２ ｘ０ 〕，那么直线ＰＡ的方程为 ｙ－〔ｘ０＋２ ｘ０
〕＝－〔ｘ－ｘ０〕，即ｙ＝－ｘ＋２ｘ０＋２ ｘ０ 、 由
ｙ＝ｘ，
ｙ＝－ｘ＋２ｘ０＋２ ｘ０
，
得Ａ〔ｘ０＋１ ｘ０
，ｘ０＋１ ｘ０ 〕、
又Ｂ〔０，ｘ０＋２ ｘ０ 〕〔１ ｘ０
，－１
ｘ０ 〕
〔－ｘ０，０〕、
ｘ０ ·〔－ｘ０〕＝－１、
【方法２】如图１，设Ｐ〔ｘ０，ｘ０＋２ ｘ０ 〕〔ｘ０＞０〕，那么点Ｐ到直线ｘ－ｙ＝０和ｙ轴的距离分别为 │ＰＡ│＝
│ｘ０－〔ｘ０＋２ ｘ０ 〕│
槡２＝槡２ ｘ０
，│ＰＢ│＝ｘ０、
因为Ｏ、Ａ、Ｐ、Ｂ四点共圆〔Ｏ为坐标原点〕，所以∠ＡＰＢ＝π－∠ＡＯＢ＝３π ４、
π
４＝－１、
２、设△ＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，且满足ａｃｏｓＢ－ｂｃｏｓＡ＝３５
ｃ，那么ｔａｎＡ ｔａｎＢ的值是 、
解：４、
２０１２年全国高中数学联赛试题〔Ａ卷〕参考答案及评分标准第２页〔共６页〕
【方法１】由题设及余弦定理，得 ａ·ｃ２＋ａ２－ｂ２
２ｃａ－ｂ·ｂ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ＝３５
ｃ，即ａ２－ｂ２＝３５ ｃ２、
故ｔａｎＡ
ｔａｎＢ＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝ ａ·ｃ２＋ａ２－ｂ２ ２ｃａ
ｂ·ｂ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ
＝ｃ２＋ａ２－ｂ２ ｂ２＋ｃ２－ａ２＝ ８５ ｃ２ ２５
ｃ２＝４、
【方法２】如图２，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ，那么 ａｃｏｓＢ＝ＤＢ，ｂｃｏｓＡ＝ＡＤ、 由题设得ＤＢ－ＡＤ＝３５ ｃ、
又ＤＢ＋ＤＡ＝ｃ、 联立解得ＡＤ＝１５ ｃ，ＤＢ＝４５ ｃ、
故ｔａｎＡ ｔａｎＢ＝ ＣＤ ＡＤ ＣＤ ＤＢ ＝ＤＢ ＡＤ＝４、
【方法３】由射影定理，得ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝ｃ、 又ａｃｏｓＢ－ｂｃｏｓＡ＝３５ ｃ、
联立解得ａｃｏｓＢ＝４５ ｃ，ｂｃｏｓＡ＝１５ ｃ、
故ｔａｎＡ
ｔａｎＢ＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝ａｃｏｓＢ ｂｃｏｓＡ＝ ４５ ｃ １５ ｃ ＝４、
３、设ｘ、ｙ、ｚ∈［０，１］，那么Ｍ＝│ｘ－ｙ槡│＋│ｙ－ｚ槡│＋│ｚ－ｘ槡│的最大值是、 解：槡２＋１、
不妨设０≤ｘ≤ｙ≤ｚ≤１，那么Ｍ＝ｙ－槡ｘ＋ｚ－槡ｙ＋ｚ－槡ｘ、 因为ｙ－槡ｘ＋ｚ－槡ｙ≤２［〔ｙ－ｘ〕＋〔ｚ－ｙ槡〕］＝２〔ｚ－ｘ槡〕， 所以Ｍ≤２〔ｚ－ｘ槡〕＋ｚ－槡ｘ＝〔槡２＋１〕ｚ－槡ｘ≤槡２＋１、 当且仅当ｙ－ｘ＝ｚ－ｙ，ｘ＝０，ｚ＝１，即ｘ＝０，ｙ＝１ ２，ｚ＝１时，上式等号同时成立、 故Ｍｍａｘ槡＝２＋１、
４、抛物线ｙ２＝２ｐｘ〔ｐ＞０〕的焦点为Ｆ，准线为ｌ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两个动点，且满足
∠ＡＦＢ＝π
2019年全国高中数学联赛试题(a卷)含解析
