大一上学期高数期末考试
、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 设 f ( x) cos x (x sin x ),则在 x 0处有(
(A) f(0) c 设(x) 2. 1
(x)
2
X
(B) f(0)1 (C) f(0)0
1时(
). f
(D) (X)不可导.
1 ， (x) 3 33 x，则当 x X
(x)
)
(B ) (X)与(X)
(A) 与 是等价无穷小； (C) 无穷小.
是同阶无穷小，但不是等价无穷小；
(X)是比(x)高阶的无穷小；
F
X
(D) (X)是比(x)高阶的
3.若
f (x)
0
(X) 0 (2t x)f(t)
dt，其中f(x)在区间上(1,1) 二阶可导且
，则().
(A) 函数F(x)必在x 0处取得极大值；
(B) 函数F(x)必在x 0处取得极小值；
F00)y
函数(x)在x 0处没有极值，但点(,F()为曲线 F(x)的拐点； (C)
y
(D) 函数F(x)在x 0处没有极值，点(°,F(0))也不是曲线 F(x)的拐点。 4 设f 1
2 0 f(t)dt ,则 f (x)( f (X)
(x)是连续函数，且
X
2 2
X
、填空题(本大题有4小题，每小题 4分，共16分)
2
(A)
2
( B)
2
1
(D).
x 2
5.
lim (1
x 0 \\
co
3x)办
/
已知■空是f(X)的一个原函数
X 6.
2—(cos — lim n n n 7.
1 2
I r cosx
则 f(x) d x
x
cos3 ) n
dx
x arcsin x
2x 1 v1
2
2
1
8.
二、解答题 (本大题有 5小题，每小题8分，共40 分) ex y sin(xy) 1
确定，求 y (x)以及 y (0). 9. 设函数y y(x)由方程
求 X 7
x(1 x) 亍dx. 10.
1
7
设 f (x)
xe
x ， 0 x 1
1 2\
3 f(x)dx.
11.
f
设函数(x)连续, 12.
g(x)
0
f (xt)dt
空A
lim xA
0 ，为常数.求 ，且x
g(x)并讨论g(x)在x
xy 2 y
求微分方程 13.
0处的连续性.
xlnx 满足
y(1)
1
9的解.
四、解答题(本大题10分)
14. 已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0)，过点，且曲线上任一点 M(X0,y0)处切线斜率
(01)
数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线x X。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)
15. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围
成平面图形D.
(1)求D的面积A ； (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)
16. 设函数f(x)在上连续且单调递减，证明对任意的q [0，1]，
0,1
q 1
f (x) d x q f (x)dx
0
0
f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 0
17. 设函数f(x)在0，上连续，且0
证明：在，内至少存在两个不同的点，，使
0
12
f( 1) f ( 20.
)
(提
x
F(x) f(x)dx
0
示：设
解答
一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)
1 ,COSX\\2
c
.6.2OS\ 8. 3 5. .7. 2.
(C
)
三、解答题(本大题有5小题，每小题
9.解：方程两边求导
x y
8分，共40分)
e (1 y) cos(xy)(xy y) 0
x yx y
y(x)
e ycos(xy) e
x cos(xy) 0 y(0) x 0, y
10.解： u x7 7x dx6
du 原式 1 (1 7 u(1 u)u). du 7
1
7仲 |u| 2ln |u 1|)
1 , ,2,-
ln |x7 I ln |1 x7
1 0 11.3 f(x)dx x
3 xe dx x2 dx
解:
0 3
xd( 0 1 (x 1)2dx
0 0
xe
x
3
- cos2 d (令 x
1 sin )
2
-2e3 4
12.解: 由 f(°)
g(0)
x
xt
(u)du
g(x)
f (xt )dt
(x
0)
x
xf (x) f (u)du
g(x)
_______ 0 x
2 (x 0)
x
f(u)du
g(0)
lim 0 lim f(x) x
0
x 0 x
2x xf(x)
f (u)du 10~2 x 0 __________ A
0 g
(x)
xm0
2 , g(x)在 x
dy -y 2 13.解:
dx
x
In
-dx x
-dx
y e e x In xdx C)
3
'xln
Cx 2
y(1)
-,1
'xln
9
C
3
四、解答题（本大题10分）
9
0
处连续。
14?解：由已知且y
2 ° yd x y
x
将此方程关于x求导得 y 2y y 特征方程：r2 r 2 其通解为
y C1e
° 解出特征根: x
C2e2x
1,
2.
代入初始条件y(°)
' (°) 1，得
C1
2x
2 x
y 3e
故所求曲线方程为：
分) 五、解答题(本大题1°
15?解：(1)根据题意，先设切点为
(x°,ln x°)
e ，从而切线方程为: 由于切线过原点，解出x°
1
1 y
(e ey)dy -e 1 A
°
则平面图形面积
(2)三角形绕直线 x=e一周所得圆锥体体积记为 V1,则
In x
曲线y 为V 与x轴及直线 x = e所围成的图形绕直线x= e 1 y2
e)dy V2 (e
°
，切线方
程： 1 y x e
y In x°
1
(x x°) x°
一周所得旋转体体积
2
V V1 V2 x = e旋转一周所得旋转体的体积 严 12e 3)
D 绕直线 (本大题有 六、证明题 q 2小题，每小题4分，共12 分) 1 1 q f(x)dx ° f (x) d x q( f (x) d x f (x)dx) q f (x)dx
° q °
16.证明： 1 q
q f(x)dx (1 q) f(x)d x
° q
1 [°, q] 2 [q,1] 1) f ( 2)
° q) f( i) q(1 q) f( 2) q(1
故有： q
°
f (x) d x f(x)dx
17.
x
证
毕。
F(x)
,° F()
证：构造辅助函
数:
上可导。F (x)
。其满足在［°，］上连续，在(°，)
f(x)，且 F(°)
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有标准答案)详解
