a3a31
(一)1.计算当a≠0时，a÷a＝5＝32＝2，再假设正整数指数幂的运算性质am÷an
aa·aa
3
5
＝amn(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么a3÷a5＝a35＝a2.于是
－
－
－
1－
得到a2＝2(a≠0)．
a
总结：负整数指数幂的运算性质：
1－
一般的，我们规定：当n是正整数时，an＝n(a≠0)．
a2．练习巩固：
填空：
(1)－22＝________， (2)(－2)2＝________， (3)(－2)0＝________， (4)20＝________，
－－
(5)23＝________， (5)(－2)3＝________． 3．例1 (教材例9) 计算：
b3－2
(1)a÷a；(2)(2)；
a
－2
5
(3)(a1b2)3；(4)a2b2·(a2b2)3.
－
－
－
－
解：(1)a2÷a5＝a
－
－
－2－5
1－
＝a7＝7；
a
6
b3－2ba44－6
(2)(2)＝－4＝ab＝6；
aba
b6(3)(ab)＝ab＝3；
a
－1
23－36
b8
(4)ab·(ab)＝ab·ab＝ab＝8.
a
－2
22－2－3－22－66－88
[分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．
4．练习：
计算：(1)(x3y2)2；(2)x2y2·(x2y)3；
－－
(3)(3x2y2)2÷(x2y)3.
5．例2 判断下列等式是否正确？
－
－
－
a－－
(1)am÷an＝am·an；(2)()n＝anbn.
b
[分析] 类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．
(二)1.用科学记数法表示值较小的数
1－
因为0.1＝＝101；0.01＝________＝________；
100．001＝________＝________??
所以0.000 025＝2.5×0.000 01＝2.5×105. 我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示
－n
成a×10的形式，其中n是正整数，1≤|a|＜10.
－
2．例3(教材例10) 纳米是非常小的长度单位，1纳米＝109米，把1纳米的物体放到
－
乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的间隙忽略不计)
[分析] 这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数． 3．用科学记数法表示下列各数：
0．00 04，－0.034，0.000 000 45，0.003 009. 4．计算：
(1)(3×108)×(4×103)；(2)(2×103)2÷(103)3. 三、课堂小结
1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立． 2．科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a必须满足1≤|a|＜10，其中n是正整数．
－
－
－
四、布置作业
教材第147页习题15.2第7，8，9题．
本节课教学的主要内容是整数指数幂，将以前所学的有关知识进行了扩充．在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解．
15．3 分式方程(2课时) 第1课时 分式方程的解法
1．理解分式方程的意义．
2．理解解分式方程的基本思路和解法．
3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．
重点
解分式方程的基本思路和解法． 难点
理解解分式方程时可能无解的原因．
一、复习引入
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？
[分析]设江水的流速为x千米/时，根据题意，得
9060
＝.① 30＋v30－v
方程①有何特点？
[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断下列各式哪个是分式方程．
x＋22y－z1y1
(1)x＋y＝5；(2)＝；(3)；(4)＝0；(5)＋2x＝5.
53xxx＋5根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 二、探究新知
1．思考：怎样解分式方程呢？
为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：
(1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ (2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结]
方程①可以解答如下：
方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得v＝6.
所以江水的流度为6千米/时．
[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．
110
2．例1 解方程：＝2.②
x－5x－25
解：方程两边同乘(x2－25)，约去分母，得x＋5＝10. 解这个整式方程，得x＝5.事实上，当x＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x－5)与(x2
－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．
解分式方程的步骤：
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．
3．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v＝6.当v＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．
方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解x＝5.当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．
4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．
如例1中的x＝5，代入x2－25＝0，可知x＝5是原分式方程的增根．
三、举例分析 例2(教材例1) 解方程
23＝. x－3x
解：方程两边乘x(x－3)，得2x＝3x－9. 解得x＝9.
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0. 所以，原分式方程的解为x＝9. 例3(教材例2) 解方程
x3－1＝. x－1（x－1）（x＋2）
解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．
四、课堂小结
1．分式方程：分母中含有未知数的方程． 2．解分式方程的一般步骤如下：
五、布置作业
教材第154页习题15.3第1题．
本节课的重点是探究分式方程的解法，我首先举一道一元一次方程复习其解法，然后通过解一道分式方程，启发引导学生参照一元一次方程的解法，由学生自己探索、归纳分式方程的解法，使学生的思维得到发挥，但要提醒学生注意对增根的理解．
第2课时 分式方程的应用
1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．
2．使学生能较熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题．
重点
在不同的实际问题中审明题意设未知数，列分式方程，解决实际问题． 难点
在不同的实际问题中，设未知数列分式方程．
一、复习引入 1．解下列方程：
3－x4＋x237(1)＝－2；(2)＋＝. x＋1x＋1x＋322x＋62．列方程解应用题的一般步骤：
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
[概括] 这些解题方法与步骤，对于解分式方程应用题也适用．这节课，我们将学习列分式方程解应用题．
二、探究新知
例1 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2 640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用了2小时输完．问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？
[分析] (1)如何设元？(2)题目中有几个相等关系？(3)怎样列方程？ 本题有两个相等关系：
(1)甲速＝2乙速 (2)甲时＋120＝乙时
其中(1)用来设，(2)用来列方程．
[概括] 列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审清题意；
(2)设未知数(要有单位)；
(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； (4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
(5)写出答案(要有单位)．
例2 A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．
练习：(1)甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知AB两地的距离为30 km，甲每小时比乙多走3 km，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km，则可列方程为( )
3030230302A.－＝ B.－＝ xx－33xx＋333030230302C.－＝ D.－＝ x＋3x3x－3x3
(2)我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必须是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度．
例3(教材例3) 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的1
，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 3
11
分析：甲队1个月完成工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半
3x个月完成总工程的________，乙队半个月完成总工程的________，两队半个月完成总工程的________．
本题是工程问题，注意基本公式是：工作量＝工时×工效．
等量关系为：甲、乙两个工程总量总工程量． 111
列方程：＋＋＝1.
362x
例4(教材例4) 某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间为________h，提速后列车的平均速度为________km/h，提速后列车运行(s＋50)km所用时间为________h.
本题是列含字母系数的分式方程，解这个方程并且检验是难点，在解题过程中注意把s，v当作已知数．
等量关系：提速前行驶50 km所用的时间＝提速后行驶(s＋50) km所用的时间．
s
列方程：＝错误!.
x
练习：教材第154页练习第1，2题． 三、课堂小结
1．列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意；
最新人教版八年级数学上册第十五章分式教案
