第十五章 分式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式
1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．
2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．
重点
理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点
能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．
一、复习引入
1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？
8m＋na2b＋ab2a＋b3x2－4232①；②1＋x＋y；③；④；⑤2；⑥22；⑦.
3322xx＋2x＋1a＋b二、探究新知 1．分式的定义
(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v千米/时．
9060
轮船顺流航行90千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间为小时，
30＋v30－v9060
所以＝.
30＋v30－v
(2)学生完成教材第127页“思考”中的题．
9060SV
观察：以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不
30＋v30－vas同点？
A
可以发现，这些式子都像分数一样都是(即A÷B)的形式．分数的分子A与分母B都是
B整数，而这些式子中的A，B都是整式，并且B中都含有字母．
A
归纳：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
B巩固练习：教材第129页练习第2题．
2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分A
式才有意义． B
学生自学例1.
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
x＋y2x1
(1)；(2)；(3)；(4). 3xx－15－3bx－y
2
解：(1)要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0；
3xx
(2)要使分式有意义，则分母x－1≠0，即x≠1；
x－1
15
(3)要使分式有意义，则分母5－3b≠0，即b≠；
35－3bx＋y
(4)要使分式有意义，则分母x－y≠0，即x≠y.
x－y
思考：如果题目为：当x为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？ 巩固练习：教材第129页练习第3题．
3．补充例题：当m为何值时，分式的值为0? m－2m2－1m
(1)；(2)；(3). m－1m＋3m＋1
思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？
分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 答案：(1)m＝0；(2)m＝2；(3)m＝1. 三、归纳总结 1．分式的概念．
2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义． 3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 四、布置作业
教材第133页习题15.1第2，3题．
在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．
15．1.2 分式的基本性质(2课时)
第1课时 分式的基本性质
1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形． 2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．
重点
理解并掌握分式的基本性质． 难点
灵活运用分式的基本性质进行分式变形．
一、类比引新 1．计算：
5248(1)×；(2)÷. 615515
思考：在运算过程中运用了什么性质？
教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质． 2．你能说出分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变． 3．尝试用字母表示分数的基本性质：
小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式． aa·caa÷c
＝，＝.(其中a，b，c是实数，且c≠0) bb·cbb÷c
二、探究新知
1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？
AA·CAA÷C＝，＝.(其中A，B，C是整式，且C≠0) BB·CBB÷Cx1bab
如＝，＝2，你还能举几个例子吗？ 2x2aa
回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养． 2．想一想
下列等式成立吗？为什么？ －aa－aaa＝；＝＝－.
b－bbb－b
教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．
例1 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号： －2a－3x－x2(1)；(2)；(3)－.
2yy－3a
例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数： x＋12－x－x－1
(1)；(2)2；(3). －2x－1－x＋3x＋1
引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则． 例3 填空：
2
x＋yx3（ ）3x＋3xy
(1)＝，＝； 2xyy6x（ ）
1（ ）2a－b（ ）(2)＝，2＝.(b≠0) aba2baa2b
x3
解：(1)因为的分母xy除以x才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性
xy质，分子也需除以x，即
3
x3x÷xx2＝＝. xyxy÷xy
3x2＋3xy
同样地，因为的分子3x2＋3xy除以3x才能化为x＋y，所以分母也需除以3x，26x
即
3x2＋3xy（3x2＋3xy）÷（3x）x＋y
＝＝. 226x2x6x÷（3x）所以，括号中应分别填入x2和2x.
1
(2)因为的分母ab乘a才能化为a2b，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分
ab子也需乘a，即
11·aa＝＝2. abab·aab
2a－b
同样地，因为2的分母a2乘b才能化为a2b，所以分子也需乘b，即
a2a－b（2a－b）·b2ab－b2
＝＝2. a2aba2·b
所以，括号中应分别填a和2ab－b2.
在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．
三、课堂小结
1．分式的基本性质是什么？ 2．分式的变号法则是什么？
3．如何利用分式的基本性质进行分式的变形？ 学生在教师的引导下整理知识、理顺思维． 四、布置作业
教材第133页习题15.1第4，5题．
通过算数中分数的基本性质，用类比的方法给出分式的基本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．
第2课时 分式的约分、通分
1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念． 2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．
重点
运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分． 难点
通分时最简分分母的确定；运用通分法则将分式进行变形．
一、类比引新
a2＋ab52
1．在计算×时，我们采用了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式2，615aba＋b
相等吗？为什么？ ab
a2＋ab
利用分式的基本性质，分式2约去分子与分母的公因式a，并不改变分式的值，可以
aba＋b得到. ab
a2＋aba＋b
教师点拨：分式2可以化为，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__．
abab4646
2．怎样计算＋？怎样把，通分？
5757
ac
类似的，你能把分式，变成同分母的分式吗？
bd
利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．
二、探究新知
－25a2bc3x2－9
1．约分：(1)；(2)2；
15ab2cx＋6x＋96x2－12xy＋6y2
(3). 3x－3y
分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式． －25a2bc35abc·5ac25ac2
解：(1)＝－＝－；
15ab2c3b5abc·3bx2－9（x＋3）（x－3）x－3
(2)2＝＝； x＋6x＋9（x＋3）2x＋36x2－12xy＋6y26（x－y）2(3)＝＝2(x－y)．
3x－3y3（x－y）
若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然
后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)
2．练习：
2
x2－4m2－3m992－12ax2y－2a（a＋b）（a－x）
约分：；；；；；. 3axy23b（a＋b）（x－a）3xy＋2y9－m298
学生先独立完成，再小组交流，集体订正．
111
3．讨论：分式32，23，4的最简公分母是什么？
2xyz4xy6xy
提出最简公分母概念．
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．
学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤： (1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．
a－b32x3x
4．通分：(1)2与2；(2)与 .
2ababcx－5x＋5分析：为通分，要先确定各分式的公分母．
最新人教版八年级数学上册第十五章分式教案
