第十五章 分式 15.1 分 式 15.1.1 从分数到分式
1.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念,建立数学模型,并理解分式的概念.
2.能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件.
重点
理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 难点
能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.
一、复习引入
1.什么是整式?什么是单项式?什么是多项式? 2.判断下列各式中,哪些是整式?哪些不是整式?
8m+na2b+ab2a+b3x2-4232①;②1+x+y;③;④;⑤2;⑥22;⑦.
3322xx+2x+1a+b二、探究新知 1.分式的定义
(1)学生看教材的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?
分析:设江水的流速为v千米/时.
9060
轮船顺流航行90千米所用的时间为小时,逆流航行60千米所用时间为小时,
30+v30-v9060
所以=.
30+v30-v
(2)学生完成教材第127页“思考”中的题.
9060SV
观察:以上的式子,,,,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不
30+v30-vas同点?
A
可以发现,这些式子都像分数一样都是(即A÷B)的形式.分数的分子A与分母B都是
B整数,而这些式子中的A,B都是整式,并且B中都含有字母.
A
归纳:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.
B巩固练习:教材第129页练习第2题.
2.自学教材第128页思考:要使分式有意义,分式中的分母应满足什么条件?
分式的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B≠0时,分A
式才有意义. B
学生自学例1.
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义?
x+y2x1
(1);(2);(3);(4). 3xx-15-3bx-y
2
解:(1)要使分式有意义,则分母3x≠0,即x≠0;
3xx
(2)要使分式有意义,则分母x-1≠0,即x≠1;
x-1
15
(3)要使分式有意义,则分母5-3b≠0,即b≠;
35-3bx+y
(4)要使分式有意义,则分母x-y≠0,即x≠y.
x-y
思考:如果题目为:当x为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗? 巩固练习:教材第129页练习第3题.
3.补充例题:当m为何值时,分式的值为0? m-2m2-1m
(1);(2);(3). m-1m+3m+1
思考:当分式为0时,分式的分子、分母各满足什么条件?
分析:分式的值为0时,必须同时满足两个条件:(1)分母不能为零;(2)分子为零. 答案:(1)m=0;(2)m=2;(3)m=1. 三、归纳总结 1.分式的概念.
2.分式的分母不为0时,分式有意义;分式的分母为0时,分式无意义. 3.分式的值为零的条件:(1)分母不能为零;(2)分子为零. 四、布置作业
教材第133页习题15.1第2,3题.
在引入分式这个概念之前先复习分数的概念,通过类比来自主探究分式的概念,分式有意义的条件,分式值为零的条件,从而更好更快地掌握这些知识点,同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力.
15.1.2 分式的基本性质(2课时)
第1课时 分式的基本性质
1.了解分式的基本性质,灵活运用分式的基本性质进行分式的变形. 2.会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则.
重点
理解并掌握分式的基本性质. 难点
灵活运用分式的基本性质进行分式变形.
一、类比引新 1.计算:
5248(1)×;(2)÷. 615515
思考:在运算过程中运用了什么性质?
教师出示问题.学生独立计算后回答:运用了分数的基本性质. 2.你能说出分数的基本性质吗?
分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数,分数的值不变. 3.尝试用字母表示分数的基本性质:
小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质,然后写出分数的基本性质的字母表达式. aa·caa÷c
=,=.(其中a,b,c是实数,且c≠0) bb·cbb÷c
二、探究新知
1.分式与分数也有类似的性质,你能说出分式的基本性质吗?
分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变. 你能用式子表示这个性质吗?
AA·CAA÷C=,=.(其中A,B,C是整式,且C≠0) BB·CBB÷Cx1bab
如=,=2,你还能举几个例子吗? 2x2aa
回顾分数的基本性质,让学生类比写出分式的基本性质,这是从具体到抽象的过程. 学生尝试着用式子表示分式的性质,加强对学生的抽象表达能力的培养. 2.想一想
下列等式成立吗?为什么? -aa-aaa=;==-.
b-bbb-b
教师出示问题.学生小组讨论、交流、总结.
例1 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母都不含“-”号: -2a-3x-x2(1);(2);(3)-.
2yy-3a
例2 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数: x+12-x-x-1
(1);(2)2;(3). -2x-1-x+3x+1
引导学生在完成习题的基础上进行归纳,使学生掌握分式的变号法则. 例3 填空:
2
x+yx3( )3x+3xy
(1)=,=; 2xyy6x( )
1( )2a-b( )(2)=,2=.(b≠0) aba2baa2b
x3
解:(1)因为的分母xy除以x才能化为y ,为保证分式的值不变,根据分式的基本性
xy质,分子也需除以x,即
3
x3x÷xx2==. xyxy÷xy
3x2+3xy
同样地,因为的分子3x2+3xy除以3x才能化为x+y,所以分母也需除以3x,26x
即
3x2+3xy(3x2+3xy)÷(3x)x+y
==. 226x2x6x÷(3x)所以,括号中应分别填入x2和2x.
1
(2)因为的分母ab乘a才能化为a2b,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分
ab子也需乘a,即
11·aa==2. abab·aab
2a-b
同样地,因为2的分母a2乘b才能化为a2b,所以分子也需乘b,即
a2a-b(2a-b)·b2ab-b2
==2. a2aba2·b
所以,括号中应分别填a和2ab-b2.
在解决例题1,2的第(2)小题时,教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化,再思考分式的分子如何变化;在解决例2的第(1)小题时,教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化,再思考分式的分母随之应该如何变化.
三、课堂小结
1.分式的基本性质是什么? 2.分式的变号法则是什么?
3.如何利用分式的基本性质进行分式的变形? 学生在教师的引导下整理知识、理顺思维. 四、布置作业
教材第133页习题15.1第4,5题.
通过算数中分数的基本性质,用类比的方法给出分式的基本性质,学生接受起来并不感到困难,但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零,让学生养成严谨的态度和习惯.
第2课时 分式的约分、通分
1.类比分数的约分、通分,理解分式约分、通分的意义,理解最简公分母的概念. 2.类比分数的约分、通分,掌握分式约分、通分的方法与步骤.
重点
运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分. 难点
通分时最简分分母的确定;运用通分法则将分式进行变形.
一、类比引新
a2+ab52
1.在计算×时,我们采用了“约分”的方法,分数的约分约去的是什么?分式2,615aba+b
相等吗?为什么? ab
a2+ab
利用分式的基本性质,分式2约去分子与分母的公因式a,并不改变分式的值,可以
aba+b得到. ab
a2+aba+b
教师点拨:分式2可以化为,我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__.
abab4646
2.怎样计算+?怎样把,通分?
5757
ac
类似的,你能把分式,变成同分母的分式吗?
bd
利用分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__.
二、探究新知
-25a2bc3x2-9
1.约分:(1);(2)2;
15ab2cx+6x+96x2-12xy+6y2
(3). 3x-3y
分析:为约分,要先找出分子和分母的公因式. -25a2bc35abc·5ac25ac2
解:(1)=-=-;
15ab2c3b5abc·3bx2-9(x+3)(x-3)x-3
(2)2==; x+6x+9(x+3)2x+36x2-12xy+6y26(x-y)2(3)==2(x-y).
3x-3y3(x-y)
若分子和分母都是多项式,则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式),然
后才能进行约分.约分后,分子与分母没有公因式,我们把这样的分式称为__最简分式__.(不能再化简的分式)
2.练习:
2
x2-4m2-3m992-12ax2y-2a(a+b)(a-x)
约分:;;;;;. 3axy23b(a+b)(x-a)3xy+2y9-m298
学生先独立完成,再小组交流,集体订正.
111
3.讨论:分式32,23,4的最简公分母是什么?
2xyz4xy6xy
提出最简公分母概念.
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫做最简公分母.
学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤: (1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数; (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到; (3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的;
(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母.
a-b32x3x
4.通分:(1)2与2;(2)与 .
2ababcx-5x+5分析:为通分,要先确定各分式的公分母.
最新人教版八年级数学上册第十五章分式教案
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)