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专题：带电粒子在磁场中的运动
（重点讨论粒子的轨迹和几何关系）
带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动．
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
1．运动特点
带电粒子以垂直于磁场方向进入磁场，其轨迹是一段圆弧． 2．圆心的确定
(1)基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心． (2)常用的两种方法（重要方法，要熟练！）
①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如下左图，图中P为入射点，M为出射点)． ②已知入射点、入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如上右图，P为入射点，M为出射点)．
3．半径的确定
(1)做出带电粒子在磁场中运动的几何关系图．
(2)运用几何知识(勾股定理、正余弦定理、三角函数)通过数学方法求出半径的大小． 4．运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：
t＝T(或t＝T)．
1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法 2．不同直线边界的匀强磁场中带电粒子的运动轨迹的特点
(1)直线边界(进出磁场具有对称性)如果粒子从某一直线边界射入磁场，再从同一边界射出磁场时，速度与边界的夹角相等．
(2)平行边界(存在临界条件)
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图 3．圆形磁场区域的规律要点
(1)相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心，如图(a)所示．
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(2)直径最小：带电粒子从直径的一个端点射入磁场，则从该直径的另一端点射出时，磁场区域面积最小，如图(b)所示．
有界匀强磁场是指在局部空间内存在着匀强磁场。如：单直线边界磁场、平行直线边界磁场、矩形边界磁场、圆形边界磁场、三角形边界磁场等。 练习一：单边界磁场
1． 如下左图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？
2．如上右图所示，x轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场.有两个质量相同，电荷量也相同的带正、负电的N M 离子（不计重力），以相同速度从O点射入磁场中，射入方向与x轴均
夹θ角.则正、负离子在磁场中： A.运动时间相同B.运动轨道半径相同
C.重新回到x轴时速度大小和方向均相同D.重新回到x轴时距O点的距离相同 3.如图所示,直线边界MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,磁场区域足够大.今有质量为m,电荷量为q的正、负带电粒子,从边界MN上某点垂直磁场方向射入,射入时的速度大小为v,方向与边界MN的夹角的弧度为θ,求正、负带电粒子在磁场中的运动时间.
4.如图3-6-9所示，一个带负电的粒子以速度v由坐标原点射入充满x正半轴的磁场中，速度方向与x轴、y轴均成45°角．已知该粒子电量为－q，质量为m，则该粒子通过x轴和y轴的坐标分别是多少？
练习二：双边界磁场
1.如图所示，一束电子（电量为e）以速度v0垂直射入磁感应强度为B，宽为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角为30°，则电子的质量是多少？穿过磁场的时间是多少？
2.如图所示，宽为d的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里．现有一个电量为-q，质量为m的粒子（不计重力），从a点以垂直于磁场边界PQ并垂直于磁场的方向射入磁场，然后从磁场上边界MN上的b点射出磁场．已知ab连线与PQ成60o，求该带电粒子射出磁场时的速度大小。
练习三：临界值问题 b
1.长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：a A．使粒子的速度v 练习四：垂直边界 1.一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并y 垂直于y轴射出第一象限。求： v （1）匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。 （2）带电粒子在磁场中的运动时间是多少？ 练习五：圆形边界磁场 度v，恰好 1.如图17所示，半径为r的圆形区域内存在着垂直纸面向里的磁感应强度为B。现有一带电离子（不计重力）从A以速度v精心整理 O/ o a v x 匀强磁场，沿圆形区域 精心整理 的直径射入磁场，已知离子从C点射出磁场的方向间的夹角为60o （1）该离子带何种电荷； （2）求该离子的电荷量与质量之比q/m 练习六：复合场 1．如图一带电的小球从光滑轨道高度为h处下滑，沿水平进入如图匀强磁场中，恰好沿直线由a点穿出场区，则正确说法是 h × × × A.小球带正电B.小球带负电 a × × × C.球做匀变速直线运动D.磁场对球做正功 2.在方向如图所示的匀强电场（场强为E）和匀强磁场（磁感应强度为B）共存的场区，一电子沿垂直电场线和磁感线方向以速度v0射入场区，则() Ⅰ A．若v0＞E/B，电子沿轨迹Ⅰ运动，射出场区时，速度v＞v0 B．若v0＞E/B，电子沿轨迹Ⅱ运动，射出场区时，速度v＜v0 Ⅱ B C．若v0＜E/B，电子沿轨迹Ⅰ运动，射出场区时，速度v＞v0 E D．若v0＜E/B，电子沿轨迹Ⅱ运动，射出场区时，速度v＜v0 3.设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C点是运动的最低点，忽略重力，以下说法正确的是：（） A、这离子必带正电荷B、A点和B点位于同一高度 C、离子在C点时速度最大D、离子到达B点时，将沿原曲线返回A点 4.如图2所示，a为带正电的小物块，b是一不带电的绝缘物块，a、b叠放于粗糙的水平地面上，地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，现用水平恒力F拉b物块，使a、b一起无相对滑动地向左加速运动，在加速运动阶段 （） A、a、b一起运动的加速度减小。B、a、b一起运动的加速度增大。 C、a、b物块间的摩擦力减小。D、a、b物块间的摩擦力增大。 练习七：综合计算 m 1.如图15，真空中分布着有界的匀强电场和两个均垂直于纸面，但方向相反的匀强磁场，电场的宽度为L，电场强度为E，磁场的磁感应强度都为B，且右边磁场范围足够大．一带正电粒子质量为m，电荷量为q，从A点由静止释放经电场加速后进入磁场，穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径再返回A点而重复上述过程，不计粒子重力，求： （1）粒子进入磁场的速率v； L （2）中间磁场的宽度d 2.如图所示，坐标平面第Ⅰ象限内存在大小为E=4×105N/C方向水平向左的匀强电场，在第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里 m?4?10?10的匀强磁场。质荷比为qN/C的带正电粒 A 图2 子从x轴 上的A点以初速度v0=2×107m/s垂直x轴射入电场，OA=0.2m，不计重力。求： B E B （1）粒子经过y轴时的位置到原点O的距离； 图15 （2）若要求粒子不能进入第三象限，求磁感应强度B的取值范围（不考虑粒子第二次进入电场后的运动情况）。 y -11-5q3.如图所示，一个质量为m=2.0×10kg，电荷量=+1.0×10C的带电微粒（重力忽略不计），从 静止开始经U1=100V电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场，偏转电场的电压U2=100V。E 金属板长L=20cm，两板间距d=103cm。求： v0 精心整理 O A x 精心整理 （1）微粒进入偏转电场时的速度 v0的大小 U2 U1 v0 θ v （第3题图） D （2）微粒射出偏转电场时的偏转角θ和速度v （3）若带电微粒离开偏转电场后进入磁感应强度 3为B=T的均强磁场，为使微粒不从磁场 5右边界射出，该匀强磁场的宽度D至少为多大 练习七：综合计算 B 1.解：（1）由动能定理，有： v?EqL?12mv2 得粒子进入磁场的速度为 2EqLm R?（2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，半径都是R，且：由几何关系可知：??30? d?Rcos30??16mEqLqB mv1?2mEqLqBqB 则：中间磁场宽度 2．解：（1）设粒子在电场中运动的时间为t,粒子经过y轴时的位置与原点O的距离为y，则： SOA12FE?F?ata?qy?v0t 2m15 2 解得：a=1.0×10m/s t=2.0×10-8sy?0.4m （2）粒子经过y轴时在电场方向的分速度为： 粒子经过y轴时的速度大小为； 与y轴正方向的夹角为θ arctgvx?v0v y E O1 v0 O A x θ= 450 要粒子不进入第三象限，如图所示，此时粒子做圆周运动的轨道半径为R/，则： v2qvB?m/R 由 ?2B?(22?2)?10T 解得 3.解：（1）微粒在加速电场中由动能定理得解得v0=1.0×104m/s qU1?12mv02 精心整理 精心整理 （2）微粒在偏转电场中做类平抛运动，有飞出电场时，速度偏转角的正切为 解得θ=30o v?a?qU2md 进入磁场时微粒的速度是： v023??104m/scos?3 （3）轨迹如图，由几何关系有：D?r?rsin? 洛伦兹力提供向心力： D?Bqv?mvr2 联立以上三式得 代入数据得D=0.1m mv0(1?sin?)qBcos? 精心整理
洛伦兹力 带电粒子在磁场中运动 重点讨论轨迹和几何关系
