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专题:带电粒子在磁场中的运动
(重点讨论粒子的轨迹和几何关系)
带电粒子在匀强磁场中的运动
1.若v∥B,带电粒子不受洛伦兹力,在匀强磁场中做匀速直线运动.
2.若v⊥B,带电粒子仅受洛伦兹力作用,在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动.
带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
1.运动特点
带电粒子以垂直于磁场方向进入磁场,其轨迹是一段圆弧. 2.圆心的确定
(1)基本思路:与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心. (2)常用的两种方法(重要方法,要熟练!)
①已知入射方向和出射方向时,可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如下左图,图中P为入射点,M为出射点). ②已知入射点、入射方向和出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如上右图,P为入射点,M为出射点).
3.半径的确定
(1)做出带电粒子在磁场中运动的几何关系图.
(2)运用几何知识(勾股定理、正余弦定理、三角函数)通过数学方法求出半径的大小. 4.运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时,其运动时间由下式表示:
t=T(或t=T).
1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法 2.不同直线边界的匀强磁场中带电粒子的运动轨迹的特点
(1)直线边界(进出磁场具有对称性)如果粒子从某一直线边界射入磁场,再从同一边界射出磁场时,速度与边界的夹角相等.
(2)平行边界(存在临界条件)
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出,如图 3.圆形磁场区域的规律要点
(1)相交于圆心:带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场,则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心,即两速度矢量相交于圆心,如图(a)所示.
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(2)直径最小:带电粒子从直径的一个端点射入磁场,则从该直径的另一端点射出时,磁场区域面积最小,如图(b)所示.
有界匀强磁场是指在局部空间内存在着匀强磁场。如:单直线边界磁场、平行直线边界磁场、矩形边界磁场、圆形边界磁场、三角形边界磁场等。 练习一:单边界磁场
1. 如下左图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场(电子质量为m,电荷为e),它们从磁场中射出时相距多远?射出的时间差是多少?
2.如上右图所示,x轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场.有两个质量相同,电荷量也相同的带正、负电的N M 离子(不计重力),以相同速度从O点射入磁场中,射入方向与x轴均
夹θ角.则正、负离子在磁场中: A.运动时间相同B.运动轨道半径相同
C.重新回到x轴时速度大小和方向均相同D.重新回到x轴时距O点的距离相同 3.如图所示,直线边界MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,磁场区域足够大.今有质量为m,电荷量为q的正、负带电粒子,从边界MN上某点垂直磁场方向射入,射入时的速度大小为v,方向与边界MN的夹角的弧度为θ,求正、负带电粒子在磁场中的运动时间.
4.如图3-6-9所示,一个带负电的粒子以速度v由坐标原点射入充满x正半轴的磁场中,速度方向与x轴、y轴均成45°角.已知该粒子电量为-q,质量为m,则该粒子通过x轴和y轴的坐标分别是多少?
练习二:双边界磁场
1.如图所示,一束电子(电量为e)以速度v0垂直射入磁感应强度为B,宽为d的匀强磁场中,穿出磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角为30°,则电子的质量是多少?穿过磁场的时间是多少?
2.如图所示,宽为d的匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里.现有一个电量为-q,质量为m的粒子(不计重力),从a点以垂直于磁场边界PQ并垂直于磁场的方向射入磁场,然后从磁场上边界MN上的b点射出磁场.已知ab连线与PQ成60o,求该带电粒子射出磁场时的速度大小。
练习三:临界值问题 b
1.长为L的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁场,如图所示,磁感强度为B,板间距离也为L,板不带电,现有质量为m,电量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是:a A.使粒子的速度v 练习四:垂直边界 1.一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P(a,0)点以速沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并y 垂直于y轴射出第一象限。求: v (1)匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。 (2)带电粒子在磁场中的运动时间是多少? 练习五:圆形边界磁场 度v,恰好 1.如图17所示,半径为r的圆形区域内存在着垂直纸面向里的磁感应强度为B。现有一带电离子(不计重力)从A以速度v精心整理 O/ o a v x 匀强磁场,沿圆形区域 精心整理 的直径射入磁场,已知离子从C点射出磁场的方向间的夹角为60o (1)该离子带何种电荷; (2)求该离子的电荷量与质量之比q/m 练习六:复合场 1.如图一带电的小球从光滑轨道高度为h处下滑,沿水平进入如图匀强磁场中,恰好沿直线由a点穿出场区,则正确说法是 h × × × A.小球带正电B.小球带负电 a × × × C.球做匀变速直线运动D.磁场对球做正功 2.在方向如图所示的匀强电场(场强为E)和匀强磁场(磁感应强度为B)共存的场区,一电子沿垂直电场线和磁感线方向以速度v0射入场区,则() Ⅰ A.若v0>E/B,电子沿轨迹Ⅰ运动,射出场区时,速度v>v0 B.若v0>E/B,电子沿轨迹Ⅱ运动,射出场区时,速度v<v0 Ⅱ B C.若v0<E/B,电子沿轨迹Ⅰ运动,射出场区时,速度v>v0 E D.若v0<E/B,电子沿轨迹Ⅱ运动,射出场区时,速度v<v0 3.设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示,已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下,从静止开始自A点沿曲线ACB运动,到达B点时速度为零,C点是运动的最低点,忽略重力,以下说法正确的是:() A、这离子必带正电荷B、A点和B点位于同一高度 C、离子在C点时速度最大D、离子到达B点时,将沿原曲线返回A点 4.如图2所示,a为带正电的小物块,b是一不带电的绝缘物块,a、b叠放于粗糙的水平地面上,地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场,现用水平恒力F拉b物块,使a、b一起无相对滑动地向左加速运动,在加速运动阶段 () A、a、b一起运动的加速度减小。B、a、b一起运动的加速度增大。 C、a、b物块间的摩擦力减小。D、a、b物块间的摩擦力增大。 练习七:综合计算 m 1.如图15,真空中分布着有界的匀强电场和两个均垂直于纸面,但方向相反的匀强磁场,电场的宽度为L,电场强度为E,磁场的磁感应强度都为B,且右边磁场范围足够大.一带正电粒子质量为m,电荷量为q,从A点由静止释放经电场加速后进入磁场,穿过中间磁场进入右边磁场后能按某一路径再返回A点而重复上述过程,不计粒子重力,求: (1)粒子进入磁场的速率v; L (2)中间磁场的宽度d 2.如图所示,坐标平面第Ⅰ象限内存在大小为E=4×105N/C方向水平向左的匀强电场,在第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里 m?4?10?10的匀强磁场。质荷比为qN/C的带正电粒 A 图2 子从x轴 上的A点以初速度v0=2×107m/s垂直x轴射入电场,OA=0.2m,不计重力。求: B E B (1)粒子经过y轴时的位置到原点O的距离; 图15 (2)若要求粒子不能进入第三象限,求磁感应强度B的取值范围(不考虑粒子第二次进入电场后的运动情况)。 y -11-5q3.如图所示,一个质量为m=2.0×10kg,电荷量=+1.0×10C的带电微粒(重力忽略不计),从 静止开始经U1=100V电压加速后,水平进入两平行金属板间的偏转电场,偏转电场的电压U2=100V。E 金属板长L=20cm,两板间距d=103cm。求: v0 精心整理 O A x 精心整理 (1)微粒进入偏转电场时的速度 v0的大小 U2 U1 v0 θ v (第3题图) D (2)微粒射出偏转电场时的偏转角θ和速度v (3)若带电微粒离开偏转电场后进入磁感应强度 3为B=T的均强磁场,为使微粒不从磁场 5右边界射出,该匀强磁场的宽度D至少为多大 练习七:综合计算 B 1.解:(1)由动能定理,有: v?EqL?12mv2 得粒子进入磁场的速度为 2EqLm R?(2)粒子进入磁场后做匀速圆周运动,半径都是R,且:由几何关系可知:??30? d?Rcos30??16mEqLqB mv1?2mEqLqBqB 则:中间磁场宽度 2.解:(1)设粒子在电场中运动的时间为t,粒子经过y轴时的位置与原点O的距离为y,则: SOA12FE?F?ata?qy?v0t 2m15 2 解得:a=1.0×10m/s t=2.0×10-8sy?0.4m (2)粒子经过y轴时在电场方向的分速度为: 粒子经过y轴时的速度大小为; 与y轴正方向的夹角为θ arctgvx?v0v y E O1 v0 O A x θ= 450 要粒子不进入第三象限,如图所示,此时粒子做圆周运动的轨道半径为R/,则: v2qvB?m/R 由 ?2B?(22?2)?10T 解得 3.解:(1)微粒在加速电场中由动能定理得解得v0=1.0×104m/s qU1?12mv02 精心整理 精心整理 (2)微粒在偏转电场中做类平抛运动,有飞出电场时,速度偏转角的正切为 解得θ=30o v?a?qU2md 进入磁场时微粒的速度是: v023??104m/scos?3 (3)轨迹如图,由几何关系有:D?r?rsin? 洛伦兹力提供向心力: D?Bqv?mvr2 联立以上三式得 代入数据得D=0.1m mv0(1?sin?)qBcos? 精心整理
洛伦兹力 带电粒子在磁场中运动 重点讨论轨迹和几何关系
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