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基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
2
（1）若a,b R，则a
（3）设a1,a2,,an与b1,b2,
b
2
,bn是两组实数，则有
2
2
2ab
(a1 a2
22
an)(b1 b2
22bn) (a1b1 a2b2
2
anbn)
a2 b2
（2）若a,b R，则ab
2 2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若a,bR*
，则ab
2 ab 3、基本不等式的两个重要变
形
（1）若a,b
R*
，则a
b ab 2
2
* ab
（2）若a,b R ，则ab
2
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小
值；当两个正数的和为定植时，它们的积有
最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当 a
b时取“=”
4
、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5
、常用结论 1
（1）若x 0，则x 2(当且仅当x 1 时取“=”） x
1
（2）若x0，则x
2 (当且仅当x 1时取“=”）
x
（3）若ab 0，则a b 2 (当且仅当a b时取“=”）
b a 2 2
（4）若a,b
R，则ab2
ab() a b 2 2
* 1 a b a2 b2
（5）若a,b R，则
ab 1 1 2 2 a b 特别说明：以上不等式中，当且仅当 a b时取“=”
6、柯西不等式
（1）若abc,,,dR，则(a2 b2)(c2 d2) (ac bd )2
（2）若a1,a2,a3,b1,b2,b3 R，则有：
(a2
2
a22221 a2
3)(1b1 b2 b3)(a1b1 a2b2 a3b3)2
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二、题型分析
题型一：利用基本不等式证明不等式
1 、设a,b均为正数，证明不等式 : ab≥
2
1 1 a b
2 、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证： a2 b2 c2 ab bc ca
3、已知a b c 1，求证：a2
2
b2 c
4 、已 知 a,b,c R ，且 a b c 1，求证：
(1 a)(1 b)(1 c) 8abc
5 、已 知 a,b,c R ，且 a b c 1，求证：
1 1 1 1 1 1 8 a b c
1
3
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6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲
设a,b,c均为正数,且a bc1,证明:
1
(Ⅰ)abbcca;(
3
a
Ⅱ)
b
2
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
（1）y3x
21（2）yx(4x)
2x 2
b c c
2
1. a
2
7、（2013年江苏卷（数学） 4 —5：不等式选 讲
已知a b 0，求证:2a3 b3
2ab2
（3）yx
1
(x0) （4）yx
1(x0) x x
题型三：利用不等式求最值
（一）（凑项）
4
1、已知x 2，求函数y 2x 4 的最小值； 2x 4
选修
a2
b
4
变式1：已知x
2，求函数y2x的最小值；2x4
4
变式2：已知x 2，求函数y
2x 的最大值；2x 4
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