北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试（理工）
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．已知i为虚数单位，则复数z?i(1?2i)对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是 A．23 B．31 C．32 D．63
开始 k?0,S?0
3．“x?0,y?0”是“
yx?≥2”的 xy k?k?1 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
k S?S?2 S?20？ 否 输出S 是 π4．已知函数f(x)?sin(?x?)(?＞0)的最小正周期为4π，则
6 A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的图象关于直线x? 结束 π对称 3π C．函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称
3 D．函数f(x)在区间(0,π)上单调递增
5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为
A．12 B． 24 C．36 D． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为
1
A．5 B．22 C．3 D．32
1 1 2 2 侧视图
正视图
俯视图
??logax,x?0,7．已知函数f(x)??(a?0且a?1)．若函数f(x)的图象上有且只有
x?3,?4?x?0??
两个点关于y轴对称，则a的取值范围是
A．(0,1) B．(1,4) C．(0,1)U(1,??) D．(0,1)U(1,4) 8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场 知识竞赛前三名的得分都分别为a,b,c(a?b?c,且a,b,c?N)；选手最后得分为各场 得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙
在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是
A．每场比赛第一名得分a为4 B．甲可能有一场比赛获得第二名 C．乙有四场比赛获得第三名 D．丙可能有一场比赛获得第一名
第二部分（非选择题 共110分）
?二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． x2y29．双曲线??1的渐近线方程是 ，离心率是 ．
3610．若平面向量a=(cos?,sin?)，b=(1,?1)，且a?b，则sin2?的值是 ． 11．等比数列{an}的前n项和为Sn．已知a1?2,a4??2，则{an}的通项公式an? ，
2
S9? ．
12．在极坐标系中，圆??2cos?被直线?cos??1所截得的弦长为 ． 213．已知
?y?x,?满足?x?y?4,若z?x?2y有最大值8，则实数k的值为 ．
?2x?y?k.?14．已知两个集合A,B，满足B?A．若对任意的x?A，存在ai,aj?B(i?j)，使得 x=?1ai+?2aj（?1,?2?{1,0,1}），则称B为A的一个基集．若 A?{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，则其基集B元素个数的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
在△ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b?c，2sinB?3sinA．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若a?2，求△ABC的面积．
16．（本小题满分13分）
从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的
中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；
（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，
根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的
0.020 a 0.005 O 140 150 160 170 180 190 200 身高(cm)
频率 组距 0.040 男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180 cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．
3
17．（本小题满分14分）
如图1，在Rt△ABC中，?C?90?，AC?4,BC?2，D,E分别为边AC,AB的中点，点F,G分别为线段CD,BE的中点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使
?A1DC?60?．点Q为线段A1B上的一点，如图2．
A1
A
D
F C
Q E
G B
图1
D E G 图2
（Ⅰ）求证：A1F?BE；
（Ⅱ）线段A1B上是否存在点Q，使得FQP平面A1DE？若存在，求出A1Q的长，若不存
在，请说明理由；
B F C
uuuur3uuur（Ⅲ）当AQ?A1B时，求直线GQ与平面A1DE所成角的大小． 14
18．（本小题满分13分）
x2y2F1,F2 已知椭圆W：2?2?1(a?b?0)的上下顶点分别为A,B，且点B(0,?1)．
abo分别为椭圆W的左、右焦点，且?F1BF2?120．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN?y轴于N，E为线段MN 的中点．直线AE与直线y??1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求 ?OEG的大小．
19．（本小题满分14分）
4
已知函数f(x)?e?x?x，g(x)?x?ax?b,a,b?R． （Ⅰ）当a?1时，求函数F(x)?f(x)?g(x)的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y?f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y?g(x)切于点(1,c)，求
x22a,b,c的值；
（Ⅲ）若f(x)?g(x)恒成立，求a?b的最大值．
20．（本小题满分13分）
各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件：
*①a1?m (m?N)；②an?n?1 (n?2)；③n是a1?a2?L?an的因数（n?1）．
（Ⅰ）当m?5时，写出数列{an}的前五项；
（Ⅱ）若数列{an}的前三项互不相等，且n?3时，an为常数，求m的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n?M时，an为常数．
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试答案（理工类） 2017.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 答案 （1） B （2） B （3） A （4） C （5） D （6） C （7） D （8） C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 题号 答案 （9） （10） （11） （12） （13） （14） y??2x 3 1 2?(?1)n?1 2 3 ?4 4 三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为2sinB?3sinA，所以2b?3a．
所以a?2b． 3 5
2017 北京朝阳二模理科数学
