第3讲 等比数列及其前n项和
1．等比数列的有关概念 (1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1＝q(q≠0，n∈N*)． an
(2)等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn1．
na1，q＝1，??
(2)前n项和公式：Sn＝?a1（1－qn）a1－anq
＝，q≠1.?1－q?1－q3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*) (1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r； (2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)． 4．等比数列的单调性
当q>1，a1>0或0
a1n
当q≠1时，an＝·q，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，
q因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
－
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( ) (3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( ) (4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( ) (5)等比数列中不存在数值为0的项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ [教材衍化]
1．(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
解析：设该数列的公比为q，由题意知， 192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.
所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48. 答案：12，48
1
2．(必修5P51例3改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________．
4a511
解析：由题意知q3＝＝，所以q＝.
a2821
答案： 2
S1031
3．(必修5P61A组T1改编)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，
S532则{an}的通项公式an＝________．
S10－S5S10311
解析：因为＝，所以＝－，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公
S532S532
n－1n－1
1111????比为q5，所以q5＝－，q＝－，则an＝－1×?－2?＝－?－2?.
322
1－?答案：－??2?[易错纠偏]
n－1
(1)忽视项的符号判断； (2)忽视公比q＝1的特殊情况； (3)忽视等比数列的项不为0.
1．在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a3与a7的等比中项为________．
解析：设a3与a7的等比中项为G，因为a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.
答案：±8
2．数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和Sn＝________．
解析：因为a≠0，an＝an，所以{an}是以a为首项，a为公比的等比数列．当a＝1时，a（1－an）
Sn＝n；当a≠1时Sn＝.
1－a
n，a＝1，??
答案：?a（1－an）
，a≠0，a≠1??1－a
3．已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________． 解析：因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项， 所以(2x＋2)2＝x(3x＋3)， 即x2＋5x＋4＝0， 解得x＝－1或x＝－4.
当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0， 不是等比数列，舍去． 答案：－4
等比数列的基本运算(高频考点)
等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．主要命题角度有：
(1)求首项a1、公比q或项数n； (2)求通项或特定项； (3)求前n项和．
角度一 求首项a1、公比q或项数n
(1)已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( ) 1
A. 31C. 9
1B．－ 31D．－ 9
(2)设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________． 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q，
由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9， 1
又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.
9
a1（1－q3）1
(2)当q≠1时，＝3a1q2，解得q＝1(舍去)或－.当q＝1时，S3＝a1＋a2＋a3
21－q
＝3a3也成立．
1
【答案】 (1)C (2)1或－
2角度二 求通项或特定项
已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，则an＝
________．
【解析】 由a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． an＋11因为{an}的各项都为正数，所以＝.
an21
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
21
因此an＝n－1.
2【答案】
2
n－1
1
角度三 求前n项和
(2020·温州模拟)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列
{an}的前n项和等于________．
3??a1＋a1q＝9，【解析】 设等比数列的公比为q，则有?2
?a1·q3＝8，?
???a1＝1，?
解得?或?1
??q＝2?q＝.
a1＝8，
??a1＝1，
又{an}为递增数列，所以?
??q＝2，?2
1－2nn
所以Sn＝＝2－1.
1－2【答案】 2n－1
解决等比数列有关问题的三种常见思想方法
(1)方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．
a1
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn或当成整体进行求解．
1－q
1．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝( )
A．4 C．6
B．5 D．7
a3
解析：选C.设等比数列{an}的公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝＝4.又{an}的
a1
各项均为正数，
1－2k
所以q＝2.而Sk＝＝63，
1－2所以2k－1＝63， 解得k＝6.
2．(2020·绍兴市柯桥区高三期中考试)已知正数数列{an}的前n项和Sn满足：Sn和2的等比中项等于an和2的等差中项，则a1＝________，Sn＝________．
an＋2（an＋2）2解析：由题意知＝2Sn，平方可得Sn＝，①
28a1＋2
由a1＝S1得＝2a1，从而可解得a1＝2.
2（an－1＋2）2
又由①式得Sn－1＝(n≥2)，②
8
（an＋2）2（an－1＋2）2
①－②可得an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，
88整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0， 因为数列{an}的各项都是正数， 所以an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4.
故数列{an}是以2为首项4为公差的等差数列， n（n－1）
所以Sn＝2n＋×4＝2n2.
2当n＝1时，S1＝a1＝2. 故Sn＝2n2. 答案：2 2n2
等比数列的判定与证明
(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，a3a5＝4，则下列说法正确的
是( )
A．{an}是单调递减数列 B．{Sn}是单调递减数列 C．{a2n}是单调递减数列 D．{S2n}是单调递减数列
2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第六章 3 第3讲 等比数列及其前n项和
