中考专题复习
中考复习之专题八 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形
教学准备
一. 教学目标：
〔1〕掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。
〔2〕利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。 〔3〕培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力 二. 教学重点、难点：
三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的根底知识、根本技能是本节的重点。难点是综合应用这些知识解决问题的能力。 三. 知识要点：
知识点1 三角形的边、角关系
①三角形任何两边之和大于第三边； ②三角形任何两边之差小于第三边； ③三角形三个内角的和等于180°； ④三角形三个外角的和等于360°；
⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 知识点2 三角形的主要线段和外心、内心 ①三角形的角平分线、中线、高；
②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等； ③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；
④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点3 等腰三角形 等腰三角形的识别：
①有两边相等的三角形是等腰三角形；
②有两角相等的三角形是等腰三角形〔等角对等边〕； ③三边相等的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形；
⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形的性质： ①等边对等角；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； ④等边三角形的三个内角都等于60°。 知识点4 直角三角形 直角三角形的识别：
①有一个角等于90°的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形；
③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互余；
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②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 知识点5 全等三角形 定义、判定、性质 知识点6 相似三角形
?定义?,夹角相等?两对应边的比相等? 相似三角形???判定方法?两个对应角相等?三条对应边的比相等????对应边的比????对应高的比?等于相似比 相似三角形的性质???周长比??面积比?相似比平方?知识点7 锐角三角函数与解直角三角形
?转化——直角三角形??视角?问题? ?常用术语坡度???方位角???
例1. 〔1〕：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。 〔2〕：等腰三角形中一内角为80°，求这个三角形的另外两个内角的度数。 分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。 解：〔1〕分两种情况：
①假设腰长为12，底边长为5，那么第三边长为12。
②假设腰长为5，底边长为12，那么第三边长为5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。 因此第三边长为12。 〔2〕分两种情况：
①假设顶角为80°，那么另两个内角均为底角分别是50°、50°。 ②假设底角为80°，那么另两个内角分别是80°、20°。 因此这个三角形的另外两个内角分别是50°、50°或80°、20°。
例题精讲
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说明：此题运用“分类讨论〞的数学思想，此题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。 例2. ：如图，⊿ABC和⊿ECD都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D 为AB边上的一点，求证：〔1〕⊿ACE≌⊿BCD，〔2〕AD＋AE＝DE。
分析：要证⊿ACE≌⊿BCD，已具备AC＝BC，CE＝CD两个条件，还需AE＝BD或∠ACE＝∠BCD，而∠ACE＝∠BCD显然能证;要证AD＋AE＝DE，
222222A D E B C 需条件∠DAE＝90°，因为∠BAC＝45°，所以只需证∠CAE＝∠B＝45°，由⊿ACE≌⊿BCD能得证。
证明：〔1〕∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCE－∠ACD＝∠ACB－∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，CE＝CD， ∴⊿ACE≌⊿BCD。
〔2〕∵⊿ACE≌⊿BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°，∵∠BAC＝∠B＝45°，∴∠DAE＝90°，∴AD＋AE＝DE。
例3. ：点P是等边⊿ABC内的一点，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3，求PA的长。
分析：将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°至⊿BCD，即可证得⊿BPD为等边三角形，⊿PCD为直角三角形。
解：∵BC＝BA，
∴将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°，使BA与BC重合，得⊿BCD，连结PD。
∴BD＝BP＝2，PA＝DC。∴⊿BPD是等边三角形。∴∠BPD＝60°。 ∴∠DPC＝∠BPC－∠BPD＝150°－60°＝90°。
∴DC＝PD2?PC2?22?32?13．∴PA＝DC＝13。
【变式】假设点P是等边⊿ABC内的一点，PA＝13，PB＝2，PC＝3。能求出∠BPC的度数吗？请试一试。
例4. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．
〔1〕观察并猜测AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
〔2〕假设PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
解：〔1〕把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP＝CQ．
〔2〕连接PQ，那么△PBQ是等边三角形．PQ＝PB，AP＝CQ故CQ：PQ：PC＝PA：PB：PC＝3：4：5，∴△PQC是直角三角形．
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中考复习之专题八-三角形-完美编辑版
