二次函数压轴题
1. 如图①，抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋2(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点P(m，0)(0 (2)若PN∶MN＝1∶3，求m的值； (3)如图②，在(2)的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O3 逆时针旋转得到OP2，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AP2、BP2，求AP2＋2BP2的最小值． 图① 图② 第1题图 解：(1)∵A(4，0)在抛物线上， 1∴0＝16a＋4(a＋2)＋2，解得a＝－2； 123 (2)由(1)可知抛物线解析式为y＝－2x＋2x＋2，令x＝0可得y＝2， ∴OB＝2， ∵OP＝m， ∴AP＝4－m， ∵PM⊥x轴， ∴△OAB∽△PAN， OBPN2PN∴OA＝PA，即4＝， 4－m1 ∴PN＝2(4－m)， ∵M在抛物线上， 123 ∴PM＝－2m＋2m＋2， ∵PN∶MN＝1∶3， ∴PN∶PM＝1∶4， 1231 ∴－2m＋2m＋2＝4×2(4－m)， 解得m＝3或m＝4(舍去)， 即m的值为3； OQ3 (3)如解图，在y轴上取一点Q，使OP＝2， 2 第1题解图 由(2)可知P1(3，0)，且OB＝2， OP23 ∴OB＝2，且∠P2OB＝∠QOP2， ∴△P2OB∽△QOP2， QP2OP23∴BP＝OB＝2， 2 93 ∴当Q(0，2)时，QP2＝2BP2， 3 ∴AP2＋2BP2＝AP2＋QP2≥AQ， ∴当A、P2、Q三点在一条直线上时，AP2＋QP2有最小值， 9 又∵A(4，0)，Q(0，2)， 914542＋（2）2＝2， ∴AQ＝3145 即AP2＋2BP2的最小值为2. 2. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于 A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，点P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PN⊥x轴于N，交直线BC于M. (1)求二次函数表达式及顶点D的坐标； (2)当PM＝MN时，求点P的坐标； (3)设抛物线对称轴与x轴交于点H，连接AP交对称轴于E，连接BP并延长交对称轴于F，试证明HE＋HF的值为定值，并求出这个定值．
2019广西中考数学专题训练二次函数压轴题
