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勾股定理知识点及主要题型 【知识点归纳】
?????1、已知直角三角形的两边，求第三边?????勾股定理?2、求直角三角形周长、面积等问题???3、验证勾股定理成立????????1、勾股数的应用????勾股定理?勾股定理的逆定理?2、判断三角形的形状????3、求最大、最小角的问题?????1、面积问题????2、求长度问题????3、最短距离问题勾股定理的应用???4、航海问题??5、网格问题?????6、图形问题?
考点一：勾股定理
（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2?b2?c2
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）结论：
①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
例题：
例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为n?1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
2学习必备 欢迎下载
A、2n B、n+1
C、n2－1
D、n?1
2（3）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）
A.a2?b2?c2 B. a2?c2?b2 C. c2?b2?a2 D.以上都有可能
（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25
B、14
C、7
D、7或25
例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。 （1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A、24cm2
B、36 cm2
C、48cm2
D、60cm2
（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A、5
B、25
C、7
D、15
考点二：勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形。
（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n为正整数）
（3）直角三角形的判定方法：
①如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形。 ②有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ③两内角互余的三角形是直角三角形。
④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
例题：
例1：勾股数的应用
（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6 B. 2，3，4
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C. 11，12，13 D. 8，15，17
（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ） A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 （1）下面的三角形中：
①△ABC中，∠C=∠A－∠B；
②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3； ③△ABC中，a：b：c=3：4：5； ④△ABC中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2）若三角形的三边之比为
21::1，则这个三角形一定是（ ） 22A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形
（3）已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形
B.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
C.等腰直角三角形
（4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
（5）若△ABC的三边长a,b,c满足a2?b2?c2?200?12a?16b?20c，试判断△ABC的形状。
（6）△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。 例3：求最大、最小角的问题
（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。 （2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为 。
考点三：勾股定理的应用
例1：求长度问题
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（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
（2）在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；?另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
DBCA
例3：最短路程问题
（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为
2，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，?BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 。（结果保留根式）
（2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。
ADCAB
B
（图1） （图2） 例4：航海问题
（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．
（2）（深圳）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。
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北CACD东60?AB30?DM
B
（图1） （图2）
（3）如图2，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 例5：网格问题
（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 （3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( ) A． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5
DABCCACB
AB
（图1） （图2） （图3） 例6：图形问题
（1）如图1，求该四边形的面积
（2）（2010四川宜宾）如图2，已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，则边BC的长为 ．
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12D13
C3B4A
（图1） （图2）
（3）某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢ ＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由
.
（4）（太原）将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围 。
1.（2010 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm， 现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为 （A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm
2．（2010 山东荷泽）（本题满分8分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
BD是∠ABC的平分线，CD＝5㎝，求AB的长．
B
A
D
C
八年级勾股定理知识点必考题型
