广西南宁市2020届高三第二次（4月）适应性测试数学（理）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的几何图形中，ABCD为菱形，C为EF的中点，EC?CF?3，BE?DF?4，BE?EF，
DF^EF，现在几何图形中任取一点，则该点取自Rt?BCE的概率为（ ）
1111A．9 B．8 C．7 D．6
2．定义在R上函数y?f?x?2?的图象关于直线x=?2对称，且函数f?x?1?是偶函数．若当x∈[0，1]
f?x??sin时， ?2x，则函数g?x??f?x??e?x在区间[?2018，2018]上零点的个数为( )
A．2017 B．2018 C．4034 D．4036
3．已知函数f?x?是定义在??1,1?上的奇函数，对于任意x1，x2???1,1?，x1?x2总有
2f?x1??f?x2?x1?x2?0且f?1??1．若对于任意a???1,1?，存在x???1,1?，使f?x??t?2at?1成立，则实数t的取值范围是（ ） A．?2?t?2
B．t??1?3或t?3?1
C．t?0或t?2 D．t?2或t??2或t?0
4．等比数列?an?中，a3??2，a11??8，则a7?（ ） A．?4 B．4 5．f(x)?x?2C．?4 D．?5
ln|x|，则函数y=f(x)的大致图像为（ ） xA． B．
C． D．
6．函数f(x)?(x?)cosx在[?3,0)U(0,3]上的图象大致是（ ）
1xA． B．
C． D．
7．已知函数f?x??cos?2x???π?π?π????2sinx?cosx??????，x?R，给出下列四个命题： 3?44????①函数f?x?的最小正周期为2π； ②函数f?x?的最大值为1； ③函数f?x?在???ππ?,?上单调递增； 44??④将函数f?x?的图象向左平移
π个单位长度，得到的函数解析式为g?x??sin2x． 12其中正确命题的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
8．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( ) A．?x∈Q，有x∈P C．?x0?Q，使得x0∈P
B．?x?Q，有x?P
D．?x0∈P，使得x0?Q
9．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD折叠，使点B与点C间的距离为3，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）
A．6? B．7? C．8? D．9?
10．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
3361A．2 B．2 C．4 D．4
11．已知函数f（x）=x2-ln|x|，则函数y=f（x）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
12．已知f(x)?lg(10?x)?lg(10?x)，则f(x)是（ ） A．偶函数，且在(0,10)是增函数
B．奇函数，且在(0,10)是增函数
C．偶函数，且在(0,10)是减函数 D．奇函数，且在(0,10)是减函数 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数列
{an}满足
a1??1an?1?，
1(n?N?)a?1?an，则100__________．
14．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a等于_______.
?2x?y?0?x?3y?5?0???x?01x1yz?()()?y?0x,y?42的最小值为__________． 15．已知实数满足，则y1?x?2y?3x,yxy的最小值为________． 16．已知正数满足，则
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
??x?3?rcos???y?1?rsin?（r?0，?为参数）
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?，以
坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
?sin?????????13?，若直线l与曲线C相切；求曲线C的极坐标方程；在曲线C上取两点M，N与原点O构成?MON，且满足
?MON??6，求面积?MON的最大值.
?an??nan??1?n??n?an?Sn?3an?2n,n?N*?2n??18．（12分）已知数列的前项为.证明：为等比数列；求数列?2?前n项和Tn.
19．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣bx+lnx，（a，b∈R）．若a＝1，b＝3，求函数f（x）的单调增区间；
9若b＝0时，不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；当a＝1，b＞2时，记函数f63'（x）的导函数f（x）的两个零点是x1和x2（x1＜x2），求证：f（x1）﹣f（x2）＞16﹣3ln2．
20．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
?x?a?acos??3?????Cy?asin?2，a?0）.在直角坐标系xOy中，曲线1的参数方程为?，（?为参数，且2以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C2?2?的极坐标方程为
41?3sin2?.求C1的
普通方程和
C2的直角坐标方程；若
C1与
C2的交点为A,B，且
|AB|?423，求a.
x2y2?2?1?a?b?0?P0,2325ab21．（12分）已知A是焦距为的椭圆E：的右顶点，点，直线PA交
??椭圆E于点B，B为线段PA的中点．求椭圆E的方程；设过点P且斜率为k的直线l与椭圆E交于M、
uuuruuuurN两点，若PN?3PM，求直线l的斜率k．
22．（10分）已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB?2,AF?1，点M在线段EF上.
若M为EF的中点，求证：AM∥平面BDE；求二面角A?BF?D的余
EM弦值；证明：存在点M，使得AM?平面BDF，并求EF的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D 2．D 3．D 4．A 5．A 6．A 7．B 8．B 9．B 10．A 11．A 12．C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．-1 14．2 15．C
23?2316．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）??4sin(??【解析】
试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的直角坐标方程为y?，消去参数?可知曲线C是圆心为线C的方程为x?3?3)；（2）2?3
3x?2，
?3,1，半径为r的圆，由直线l与曲线C相切，可得：r?2；则曲
???2??y?1??4， 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得
2可得曲线C的极坐标方程. (2)由（1）不妨设M（?1,?），
，（?1?0,?2?0），
S?MONvuuuv1uuuu??OMONsin， 26，
由此可求?MON面积的最大值.
试题解析：（1）由题意可知直线l的直角坐标方程为y?3x?2，
曲线C是圆心为
?3,1，半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得：r??3?3?1?22?2；可知曲
线C的方程为x?3??2??y?1??4，
2所以曲线C的极坐标方程为?2?23?cos??2?sin??0， 即??4sin????????. 3?，（?1?0,?2?0），
(2)由（1）不妨设M（?1,?），
S?MONvuuuv1uuuu??OMONsin， 26
，
当???12 时， S?MON?2?3，
所以△MON面积的最大值为2?3.
n2?n?3?18．（1）详见解析（2）Tn???8?2n????8.
2?4?【解析】 【分析】
n?1（1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当n?2时， Sn?1?3an?1?2，构造所需的递推式，
n运用等比数列的定义得证； （2）由（1）中求得的数列?相减法即可求得Tn． 【详解】
n?1（1）当n?1时，a1?1，当n?2时， Sn?1?3an?1?2，
?an??nan??1的通项公式代入得数列??n?的通项公式，再利用分组求和及错位n2???2?∴an?Sn?Sn?1?3an?2n?1即2an?3an?1?2，
?n???3an?1?2n?1，
?所以
an3an?11??n?1?， n2424an3?an?1?a11?1??1?1??，而， ?n?112n4?222??所以
31?an?故?n?1?是?为首项，以为公比的等比数列；
24?2?a?1??3?（2）由（1）知n?1???????2n?2??4?na?1??3?故nn?n?????n???2?2??4?n?1n?1a?1??3?，所以n?1???????2n?2??4?n?1，
，
n???3????1?令数列?n?，?n???的前n和分别为An,Bn，则Tn?An????Bn，
?2???4?????3??3??3?Bn?1????2??????n????4??4??4?1201n?1，
n?1n3?3??3??3?Bn?1????2???????n?1????4?4??4??4?1?3??3??3?则Bn?1???????????4?4??4??4?3?3?1????14?4?所以Bn?341?4n2?n 又因为An?2n?1n?3??n???，
?4?12n?1?3??n??，
?4?nn?3??3??n??，所以Bn?16??16?4n???，
?4??4?nn2n2?n?1???3??n?n?3??????16??16?4n???????8?2n????8. 故Tn?22?2???4???4???n2?n?3?所以Tn???8?2n????8. 2?4?故得解. 【点睛】
本题考查由数列递推式，证明数列为等比数列，运用错位相减法及分组求和法求数列的前n项和，属于中
n?an??n?1??为等比数列时，关键在于需由递推式构造出所需的表达式，根据目标构造是数档题．在证明数列?2学中常运用的数学思想. 19．（1）f（x）在（0，【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a≤﹣区间[1，+∞）恒成立，令h（x）＝﹣
11），（1，+∞）递增；（2）a≤﹣；（3）见解析 22elnx在x2lnx，根据函数的单调性求出a的范围即可； 2x（3）由题意得x1，x2（x1＜x2）是方程2x2﹣bx+1＝0的两个根，记g（x）＝2x2﹣bx+1，根据函数的单调
性证明即可． 【详解】
（1）由题意得：x＞0，a＝1，b＝3时，f（x）＝x2﹣3x+lnx，
1(2x?1)(x?1)1?，令f'（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1， xx21故f（x）在（0，），（1，+∞）递增；
2f?(x)?2x?3?（2）b＝0时，f（x）＝ax2+lnx，不等式f（x）≤0在[1，+∞）恒成立， 即a≤﹣
lnxlnx2lnx?1?h(x)?[1+∞hx在区间，）恒成立，令（）＝﹣，则，
x2x2x3令h'（x）＞0，解得：x＞e，令h'（x）＜0，解得：1＜x＜e，
故f（x）在（1，e）递减，在（e，+∞）递增，故h（x）min＝h（e）＝﹣故a≤﹣
1， 2e1； 2e2
?2x2?bx?1（3）a＝1时，f（x）＝x﹣bx+lnx，f(x)?，（x＞0），
x由题意得x1，x2（x1＜x2）是方程2x2﹣bx+1＝0的两个根，记g（x）＝2x2﹣bx+1，则
9?1?2?1?1?9?g???2?0,Qb?,?g?????b??0，g（2）＝9﹣2b＜0，
2?b?b?4?4?2?11，），x2∈（2，+∞），且f（x）在[x1，x2]递减， b417b63?﹣3ln2， 故f（x1）﹣f（x2）＞f（）﹣f（2）＝
44169796363?31n2?∵b＞，∴f（x1）﹣f（x2）＞??﹣3ln2．
2421616∴x1∈（【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．
x220．xa),?y2?1；（1）(x?a)?y?a(0剟（2）1.
4222【解析】 【分析】
（1）对于曲线C1的参数方程利用三角恒等式消参，对于曲线C2，直接利用极坐标和直角坐标互化的公
?222?式化简得解；（2）先求出A??3,3??，再根据点A在C1上，求出a的值.
??【详解】
（1）利用sin?+cos?=1消去参数?，
22222得C1的普通方程为(x?a)?y?a?0?x?a?.
由??24222222得?+3?sin?=4，将?=x+y,y??sin? 21?3sin?x2代入上式并整理得C2的直角坐标方程为?y2?1.
4（2）根据对称性知，A和B关于x轴对称， 不妨设A?x0,y0?，0?x0?a，y0?0， 因为|AB|?41222，所以y0?|AB|?， 3232， 3代入C2的直角坐标方程得x0??222?2822C,(?a)??a又A?在上，所以， ?1?33?39??解得a=1. 【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识
的理解掌握水平和分析推理计算能力.
x2y24221．. （1）（2）k????1；
394【解析】 【分析】
（1）由焦距为25可得c???5，再根据B?,3?在椭圆E上得b2?4，于是a2?9，进而得到椭圆方
2??a程．（2）将直线l方程与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系得x1?x2??272363kxx?，，129k2?49k2?4uuuvuuuuvx2xx?x?x2?16再根据PN?3PM得?3，构造2?1?1?，代入x1?x2,x1x2后可得所求斜率．
x1
x1x2x1x23【详解】
（1）由题意得焦距2c?25， ∴c?5．
?a?又点B?,3?在椭圆E上，
?2?a2313∴2?2??2?1，解得b2?4， 4ab4b∴a2?b2?5?9．
x2y2∴椭圆E的方程为??1．
94（2）根据题意得直线l的方程为y?23?kx，即y?kx?23．
y?kx?23,由{x29?y?1,42 消去y整理得?9k2?4?x2?363kx?72?0．
∵直线l与椭圆E交于M、N两点， ∴??363k??2?4??9k2?4??72?0，解得k?28． 9设M?x1,y1?，N?x1,y2?， 则x1?x2??72363kxx?，． 129k2?49k2?4uuuuvuuuvuuuvuuuuv∵PN?3PM，且PM?x1,y1?23，PN?x2,y2?23，
????∴x2,y2?23?3x1,y1?23， ∴x2?3x1，即
x2
?3． x1
22????2?x?x??2x1x2??x1?x2??2?10， x2x1x12?x2∴???12x1x2x1x2x1x2x1x23∴
?x1?x2?x1x22?16． 32?363k???2?8329k?4??16，解得k2?，满足k2?， ∴?997239k2?4∴k??42． 342． 3即直线l的斜率k??【点睛】
由于圆锥曲线的问题都涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，利用“设而不求”、“整体x2
?3x代换”等方法，以减少运算量、提高解题的效率，本题中利用1，构造
x2x1?x1?x2??2x1x2?x1?x2?10????2?x1x2x1x2x1x23后利用整体代换求解就是一种很好的简化运算的方
法．另外，不要忽视判别式的限制． 22．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
226；（Ⅲ）详见解析. 6【解析】 【分析】
（Ⅰ）设AC?BD=O，根据平面几何知识得OAME为平行四边形，即得AM//OE，再根据线面平行判定定理得结果，（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面BDF的一个法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果，（Ⅲ）设M(x0,x0,1)，根据题意得
uuuurEM的值. AM与平面BDF法向量，列式可得M坐标，代入即得
EF【详解】
（Ⅰ）设AC?BD=O，连结OE， 因为正方形ABCD，所以O为AC中点 又矩形ACEF,M为EF的中点 所以EM//OA,且EM?OA 所以OAME为平行四边形 所以AM//OE
又AM?平面BDE，OE?平面BDE 所以AM∥平面BDE
（Ⅱ）以C为原点，分别以CD,CB,CE为x,y,z轴建立坐标系C?xyz
则A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,2,1)
uuuruuurDB?(?2,2,0),DF?(0,2,1)
设平面BDF的法向量为n?(x,y,z)，
ruuuvv?DB?n?0??2x?2y?0uuuv 由?得?v2y?z?0DF?n?0??r则n?(1,1,?2)
易知平面ABF的法向量m?(0,1,0)
rrurrurn?m16cos?n,m??ru?r?6 6n?m由图可知二面角A?BF?D为锐角
所以二面角A?BF?D的余弦值为
6 6uuuurM(x,x,1)（Ⅲ）设，则AM?(x0?2,x0?2,1) 00uuuurr若AM?平面BDF，则AM//n，即(x0?2,x0?2,1)//(1,1,?2)
所以x0?2?1解得x0?2?333所以M(,,1)
222323所以EM=2?
EF224【点睛】
本题考查线面平行判定定理、利用空间向量求二面角以及利用空间向量研究线面平行，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
高考模拟数学试卷
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题纸上． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大曩共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在复平面内，复数z?A.1?2i
B.1?2i
3?i（i为虚数单位）的共轭复数等于 1?iC.1?3i
D.?1?3i
2.设全集U??1,2,3,4,5?,A??1,2?,B??2,3,4?,则?CUA??B? A.?3，4?
B. ?3，4，5?
C. ?2，3，4，5?
D. ?1，2，3，4?
0.53.设a0?2,b?log32,c?log20.1，则
A.a?b?c
B. c?a?b
C. c?b?a D. b?c?a
?2x?y?0?4.若点P?x,y?满足线性约束条件?x?2y?2?0,则z?4x?y的最大值为
?y?0?A.1
B.2
C.3
D.4
方形，俯视图
5.如图所示的三棱柱，其正（主）视图是一个边长为2的正是一个正三角形，则该三棱柱侧（左）视图的面积为 A.22 C.23
B.3 D.4
6.函数f?x??lnx2?2的图象大致是
??
x2y27.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的一条渐近
ab线经过点
?2,23?，则该双曲线的离心率为
A.3
B.2
C.5
D.2
8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出k的值是 A.8 C.6
B.7 D.5
象如图所
9.已知函数f?x??Asin??x????0?????的图示，若f?x0??3,x0????5?,36?
??，则sinx0的值为 ?B.
A.
43?3 1043?1 10
33?4 1033?3 10C. D.
10.设f?x??lnx，若函数g?x??f?x??ax在区间点，则实数a的取值范围是 A.?0,?
?0,3?上有三个零
?ln3?,e? 3????1?e?
,? B. ?3e???ln31?C.?0,??ln3? 3??D.?第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 12.
已
知
平
面
向
量
a??1,2?，b???2，m?,且a?b.则2a?3b? ▲ .
13. 函数y?lg?1???1?x??2?3的定义域是 ▲ . x?2214.设a,b是区间?0，3?上的两个随机数，则直线ax?by?3?0与圆x?y?1没有公共点的概率是 ▲ .
15.给出下列四个命题：
①命题“?x?R,cosx?0”的否定是“?x?R,cosx?0”； ②a、b、c是空间中的三条直线，a//b的充要条件是a?c且b?c； ③命题“在△ABC中，若A?B,则sinA?sinB”的逆命题为假命题；
④对任意实数x,有f??x??f?x?，且当x?0时，f??x??0，则当x?0时，f??x??0. 其中的真命题是 ▲ .（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
在△ABC中，已知a，b，c分别是三个内角A,B,C的对边，（I）求角A的大小； （II）求函数y?
17.（本小题满分12分）
山东省第二十三届运动会将于在济宁市开幕，为办好省运会，济宁市计划招募各类志愿者1.2万人.为做好宣传工募小组市岁的人抽取了回
答
作，招对济宁15-40群随机100人，“省运
2b?ccosC?. acosA???3sinB?sin?C??的值域.
6??会”的有关知识，根据统计结果制作了如下的统计图表1、表2： （I）分别求出表2中的a、x的值；
（II）若在第2、3、4组回答完全正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，则各组应分别抽取多少人？ （III）在（II）的前提下，招募小组决定在所抽取的6人中，随机抽取2人颁发幸运奖，求获奖的2人均自第3组的概率. 18.（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD?底面ABCD，且
PA?PD?2AD，若E,F分别为PC,BD的中点. 2（I）求证：EF//平面PAD； （II）求三棱锥F-DEC的体积；
（III）在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG?平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
19. （本小题满分12分）
在等比数列?an?中，已知a1?2，且a2,a1?a3,a4成等差数列. （I）求数列?an?的通项公式an；
（II）求数列?log2an?an?的前n项和为Sn； （III） 设bn=
11，求证：b1?b2?…+bn?.
log2an?1glog2an220.（本小题满分12分） 已知函数f?x??lnx?a,g?x??ex?ax?1?，其中a为常数. x（I）若y?f?x?在区间?1，???上是单调增函数，求a的取值范围；
（II）当g?x?在区间?1,2?上不是单调函数时，试求函数y?f?x?的零点个数，并证明你的结论. 21.（本小题满分12分）
x2y21已知F1、F2是椭圆C：2?2?1?a?b?0?的左、右焦点，且离心率e?，若点P为椭圆C上的一个
ab2动点，且PF1?PF2的最大值为4. （I）求椭圆C的标准方程；
（II）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P?m,0?，使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.
高考模拟数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1.若集合A?{xx?0}，且AIB?B，则集合B可能是（ ）
（A）R （B）?1,2? （C）{?1,0,1} （D）{xx?1} 2.若复数z满足?z?3??2?i??5 (i为虚数单位),则z为（ ） （A）2?i
（B）2?i
（C）5?i
（D）5?i
x3.已知m?R，“函数y?2?m?1有零点”是“函数y?logmx在上为减函数”的（ ） （0，+?）（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
*4.已知数列{an},{bn}满足bn?log2an，n?N，其中{bn}是等差数列，且a8?a2008?1，则4b1?b2?b3?L?b2015? （ ）
（A）log22015 （B）2015 （C）?2015 （D）1008 5.已知log1a?log1b，则下列不等式一定成立的是（ ）
22（A）
1111? （B）()a?()b （C）ln(a?b)?0 （D）3a?b?1 ab436.某工厂对一批新产品的长度（单位：mm）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批 产品的中位数为（ ）
（A）20 （B）22.5 （C）22.75 （D）25 7.函数f(x)?sin(?x??)（其中|?|?
?2）的图象如图所示，为了得到y?sin?x的图象，只需把
y?f(x)的图象上所有点（ ）
??个单位长度 （B）向左平移个单位长度 66??（C）向右平移个单位长度 （D）向左平移个单位长度
1212?2x?y?6?0?8.已知实数x,y满足?x?y?0，若目标函数z??mx?y的最大值为?2m?10，最小值为
?x?2?（A）向右平移
?2m?2，则实数m的取值范围是（ ）
（A）??1,2?
（B）??2,1?
（C）?2,3?
（D） ??1,3?
x2y29.椭圆M 2?2?1(a?b?0)左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点且 PF1?PF2最大值
ab22?取值范围是?2c,3c??，其中c?a?b，则椭圆离心率e取值范围为（ ）
22?2??3??32??11?（A）? （D）?,1?,,? （C）?,1?? ? （B）??233232????????uuuruuurrr3uuucGC?0，则角A? （ ） 10.若G是?ABC的重心，且aG??bG??3（A）30 （B）45 （C）60 （D）90
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）
oooo开始输入ak?1,S?0S?S?1(2k?1)(2k?1)k?k?1S?a?是否输出k
（A）
12.已知函数f(x)??结束3256 （B） （C） （D） 2222?log5(1?x)2??(x?2)?2(x?1)1，则关于x的方程f(x??2)?a的实根个数不可能为．．．x(x?1)（ ）
（A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.
13.有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到北京大学，清华大学，复旦大学，每所学校至少去一名，
则不同的保送方案共有 种.
1??14.如图（第11题右图）,若输入a的值为二项式?x?展开式的常数项,则输出的k值是 ． 4?19x??15.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱体积最大时，它的
9外接球的表面积为 ．
x2y25?116.我们把离心率e?的双曲线2?2?1?a?0,b?0?称为黄金双曲线．给出以下几个说法：
2ab2y2(1)双曲线x??1是黄金双曲线；
5?12(2)若b2?ac，则该双曲线是黄金双曲线；
(3)若MN经过右焦点F2且MN?F1F2，?MON?900，则该双曲线是黄金双曲线；
0，B2（0，﹣b）且?F1B1A2?90，则 (4)若F1,F2为左右焦点，A1,A2为左右顶点，B1（0，b）
该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为 _________ ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (本大题共6小题，满分70分. ）
17.在?ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c满足b?c?bc?a. （1）求角A的大小； （2）若等差数列?an?的公差不为零，且a1cosA?1，且a2、a4、a8成等比数列，求?前n 项和Sn.
18.第117届中国进出品商品交易会（简称2015年春季广交会）将于在广州举行，为了
搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的 身高组成茎叶图（单位：cm）（第15题右图），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”， 身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”。
（1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）。
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用?表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试求?的
分布列和数学期望。
19.如图，在四棱锥????CD中，侧棱???底面??CD，?D//?C，???C?90，
o222?4??的 aa?nn?1????????C?2，?D?1，?是棱??中点． （1）求证：??//平面?CD；
（2）设点?是线段CD上一动点，且D???DC，当直线??与平面???所成角最大时，求?值．
x2y2320.如图，F1、F2为椭圆C:2?2?1的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e?，
2abS?DEF2?1?3xy．若M(x0,y0)在椭圆C上，则点N(0,0)称为点M的一个“好点”．直线l与 2ab椭圆交于A、B两点， A、B两点的“好点”分别为P、Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点． （1）求椭圆的标准方程；
（2）问：?AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．
21.设函数f(x)?x?mln(x?1)．
（1）若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围； （2）若m??1，试比较当x?(0,??)时，f(x)与x的大小； （3）证明：对任意的正整数n，不等式e0?e?1?4?e?2?9?L?e(1?n)n?
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22.（略）
223n(n?3)成立． 2??x?1?2t23.选修4-4：坐标系与参数方程：已知直线l的参数方程为?（t为参数），以坐标原点为极点，
??y?2tx轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是??sin?． 21?sin??1?写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
?2?若点?是曲线C上的动点，求?到直线l的距离的最小值，并求出?点的坐标．
24.选修4-5：不等式选讲：已知函数f(x)?m?|x?1|?2|x?1|.
?1?当m?5时，求不等式f(x)?2的解集；
?2?若二次函数y?x2?2x?3与函数y?f?x?的图象恒有公共点，求实数m的取值范围.
一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分） 题 号 答 案 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13 36 14 11 15 13? 16 (1)(2)(3)(4)
三、解答题：(本大题6小题，共70分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.解：(1)∵b2＋c2－a2＝bc，
b2＋c2－a2bc1
∴＝＝.
2bc2bc2
B D A C B B A A D A C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1π
∴cosA＝. 又A∈(0，π) ∴A＝.
23(2)设{an}的公差为d， 由已知得a1＝
1
＝2，且a2a8. 4＝a2·cosA
∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)． 又d不为零， ∴d＝2. ∴an＝2n. 4111
∴＝＝－. anan＋1n?n＋1?nn＋111111111n∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝
22334nn＋1n＋1n＋1
18.解：（1）根据茎叶图可得：
159?169?170?175?176?182?187?191?176.1(cm)
8168?169女志愿者身高的中位数为?168.5(cm)
2男志愿者的平均身高为
（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的“高个子”有3人 ∴?的可能值为0,1,2,3，
123321CCC151 CCC1030533553故P(??0)?P(??2)??,P(??3)??,?,P(??1)??,3333C856C856C856C856即?的分布列为：
? P 0 1 2 3 10 5630 5615 561 56所以?的数学期望E??0?10301519?1??2??3?? 56565656819.解：（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1) 则AM?(0,1,1),PD?(1,0,?2),CD?(?1,?2,0)
设平面PCD的法向量是rn?(x，，yz)，则
???PD?n?0即???x?2z?0, 令z?CD?n?0??x?2y?0,?1，则x?2,y??1， 于是rn?(2，?11)， ∵uAMuuur?rn?0，∴uAMuuur?rn， ∴
平面PCD
（2）因为点N是线段CD上的一点，可设DN??DC??(1,2,0)
AN?AD?DN?(1,0,0)??(1,2,0)?(1??,2?,0) MN?AN?AM?(1??,2?,0)?(0,1,1)?(1??,2??1,?1)
又平面PAB的法向量为n1?(1,0,0) 设MN与平面PAB所成的角为? 则sin??(1??,2??1,?1)?(1,0,0)1??1??(1??)2?(2??1)2?1?5?2?2??3?5(1??)2 ?12(1??)?10?1?1
5?121???10(11??)210(11???375)2?5?当121???35 时， 即5?3?3?，??3时，sin?最大， 所以MN与平面PAB所成的角最大时??23
20. 解：（1）由题意得e?ca?332，故c?2a，b?12a． S12(a?c)?b?13a1323?DEF2?2(a?2a)?2?4(1?2)a?1?2， 故a2?4，即a?2，所以b?1x22a?1，c?3 故椭圆的标准方程为：4?y2?1．（2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则P(x12,y(x21)、Q2,y1)． ①当直线AB的斜率不存在时，即x1?x2，y1??y2， 由题意可得OP?OQ，
即x1x22?2?yx211y2?4?y21?0， 解得x21?4y21， AM//
4y1221?y12?1，解得|y1|?,|x1|?2，∴ S?AOB?|x1|?|y1?y2|?1． 又∵
242②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y?kx?m．
?y?kx?m?222由?x2可得，(4k?1)x?8kmx?4m?4?0
2??y?1?44m2?4x1x2?8km??xx? ∴x1?x2?， OP?OQ??y1?y2?0 12224k?14k?122x1x21?4k2x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?x1x2?km(x1?x2)?m2 即?y1y2?0 故4441?4k24m2?4?8km8k2m222??2?mk?2?m?2m?1?2?0
44k?14k?14k?12222整理得(2m?1)(4k?1)?8km?0，即2m2?4k2?1?0．所以4k2?1?2m2．
?8km24m2?41622)?4?2?(4k?1?m) 而|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2?(2224k?14k?1(4k?1)2241?k2故|AB|?1?k|x1?x2|?4k2?124k2?1?m2
而点O到直线AB的距离d?|m|1?k2，
所以S?AOB1141?k2?|AB|?d??224k2?14k2?1?m2?|m|1?k2 ?2|m|2|m|224k?1?m?2m2?m2?1． 综合①②可知?AOB的面积为定值1． 224k?12mm2x2?2x?m?21. 解：（1）∵f?(x)?2x?又函数f(x)在定义域上是单调函数. x?1x?1∴ f?(x)?0或f?(x)?0在(?1,??)上恒成立
若f?(x)?0在(?1,??)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调地增函数，
11在(?1,??)上恒成立，由此可得m?；
22m若f?(x)?0在(?1,??)上恒成立，则f?(x)?2x??0在(?1,??)上恒成立.
x?111即m??2x2?2x??2(x?)2?在(?1,??)上恒成立.
22121∵?2(x?)?在(?1,??)上没有最小值 ∴不存在实数m使f?(x)?0在(?1,??)上恒成立.
22则m??2x2?2x??2(x?)2?12综上所述，实数m的取值范围是[,??).
（2）当m??1时，函数f(x)?x?ln(x?1). 令g(x)?f(x)?x??x?x?ln(x?1)
21233213x3?(x?1)2??则g?(x)??3x?2x? x?1x?12显然，当x?(0,??)时，g?(x)?0，所以函数g(x)在(0,??)上单调递减 又g(0)?0，所以，当x?(0,??)时，恒有g(x)?g(0)?0，
3即f(x)?x?0恒成立. 故当x?(0,??)时，有f(x)?x
3（3）数学归纳法
证明：1、当n?1时，左边=e0?1，右边=
1?4?2，原不等式成立. 222、设当n?k时，原不等式成立，即e0?e?1?4?e?2?9???e(1?k)?k?则当n?k?1时，左边=e0?e?1?4?e?2?9???e(1?k)?k?e(1?k?1)?(k?1)只需证明
22k(k?3) 2k(k?3)?k?(k?1)2 ??e222k(k?3)(k?1)?(k?4) 即证e?k?(k?1)?k?2 ?e?k?(k?1)?222即证?k?(k?1)?ln(k?2)
由（2）知x?x?ln(x?1),x?(0,??) 即x(1?x)?ln(x?1), 令x?k?1，即有?k?(k?1)?ln(k?2) 所以当n?k?1时成立 综上可知，原不等式成立
2232??x?1?2t23．解：(1)由?，得x?y?1 ?直线的极坐标方程为?cos???sin??1
??y?2t???即2?(cos?cos?sin?sin)?1 即2?cos(??)?1
444sin?sin?22 ??cos??sin? 即曲线C的普通方程为y?x Q?????221?sin?cos?(2)设P(x0,y0)，y0?x02
123123?(x?)?(x?)?00x0?y0?1x0?x0?12424 ????P到直线的距离d?22222?当x0?32111时，dmin? ?此时P(，) 22483211 ?当P点为(,)时，P到直线的距离最小，最小值为248?3x?6???????(x??1)?24.解：（1）当m?5时，f(x)???x?2????(?1?x?1)，
?4?3x????(x?1)?由f(x)?2易得不等式的解集为{x|?224?x?0} 3（2）由二次函数y?x?2x?3?(x?1)?2，该函数在x??1取得最小值2，
?3x?1?m???????(x??1)?∵f(x)???x?3?m????(?1?x?1)在x??1处取得最大值m?2
??3x?m?1????(x?1)?∴ 要使二次函数y?x?2x?3与函数y?f(x)的图象恒有公共点， 只需m?2?2，即m?4。
一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分） 题 号 答 案 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13 36 14 11 15 13? 16 (1)(2)(3)(4)
三、解答题：(本大题6小题，共70分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.解：(1)∵b2＋c2－a2＝bc，
b2＋c2－a2bc1
∴＝＝.
2bc2bc2
B D A C B B A A D A C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21π
∴cosA＝. 又A∈(0，π) ∴A＝.
23(2)设{an}的公差为d， 由已知得a1＝
1＝2，且a2a8. 4＝a2·cosA
∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)． 又d不为零， ∴d＝2. ∴an＝2n. 4111
∴＝＝－. anan＋1n?n＋1?nn＋111111111n
∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝
22334nn＋1n＋1n＋1
18.解：（1）根据茎叶图可得：
159?169?170?175?176?182?187?191?176.1(cm)
8168?169女志愿者身高的中位数为?168.5(cm)
2男志愿者的平均身高为
（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，
女志愿者的“高个子”有3人 ∴?的可能值为0,1,2,3， 故
12331C5C315C31 C5C52C31030?,P(??3)??,P(??0)?3?,P(??1)?3?,P(??2)?33C856C856C856C856即?的分布列为：
? P 0 1 2 3 10 5630 5615 561 56所以?的数学期望E??0?10301519?1??2??3?? 56565656819.解：（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1) 则AM?(0,1,1),PD?(1,0,?2),CD?(?1,?2,0) 设平面PCD的法向量是n?(x，，yz)，则
r??PD?n?0?x?2z?0,即? 令z?1，则x?2,y??1， ??x?2y?0,??CD?n?0?uuuurruuuurrr于是n?(2，?11)， ∵AM?n?0，∴AM?n， ∴AM//平面PCD
（2）因为点N是线段CD上的一点，可设DN??DC??(1,2,0)
AN?AD?DN?(1,0,0)??(1,2,0)?(1??,2?,0) MN?AN?AM?(1??,2?,0)?(0,1,1)?(1??,2??1,?1)
又平面PAB的法向量为n1?(1,0,0) 设MN与平面PAB所成的角为? 则sin??(1??,2??1,?1)?(1,0,0)(1??)?(2??1)?122?1??5??2??32?1??5(1??)?12(1??)?102 ?5??当11212?10()1??1???10(1137?)2?1??55
213? 时， 即5?3?3?，??时，sin?最大， 1??532所以MN与平面PAB所成的角最大时??
320. 解：（1）由题意得e?1c33?a，b?a． ，故c?a222S?DEF2?2113a1323(a?c)?b?(a?a)??(1?)a?1?， 22224221x2?y2?1． 故a?4，即a?2，所以b?a?1，c?3 故椭圆的标准方程为：42（2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则P(x1x,y1)、Q(2,y1)． 22①当直线AB的斜率不存在时，即x1?x2，y1??y2， 由题意可得OP?OQ，
x1x2x12?y1y2??y12?0， 解得x12?4y12， 即?2244y1221?y12?1，解得|y1|?,|x1|?2，∴ S?AOB?|x1|?|y1?y2|?1． 又∵
242②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y?kx?m．
?y?kx?m?222由?x2可得，(4k?1)x?8kmx?4m?4?0
2?y?1??44m2?4x1x2?8km??xx? ∴x1?x2?， OP?OQ??y1?y2?0 124k2?14k2?122x1x21?4k2x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?x1x2?km(x1?x2)?m2 即?y1y2?0 故4441?4k24m2?4?8km8k2m222??2?mk?2?m?2m?1?2?0
44k?14k?14k?122222222整理得(2m?1)(4k?1)?8km?0，即2m?4k?1?0．所以4k?1?2m．
?8km24m2?41622)?4?2?(4k?1?m) 而|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2?(2224k?14k?1(4k?1)2241?k2故|AB|?1?k|x1?x2|?4k2?124k2?1?m2
而点O到直线AB的距离d?|m|1?k2，
所以S?AOB1141?k2?|AB|?d??224k2?14k2?1?m2?|m|1?k2 ?2|m|2|m|224k?1?m?2m2?m2?1． 综合①②可知?AOB的面积为定值1． 224k?12mm2x2?2x?m?21. 解：（1）∵f?(x)?2x?又函数f(x)在定义域上是单调函数. x?1x?1∴ f?(x)?0或f?(x)?0在(?1,??)上恒成立
若f?(x)?0在(?1,??)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调地增函数，
11在(?1,??)上恒成立，由此可得m?；
22m若f?(x)?0在(?1,??)上恒成立，则f?(x)?2x??0在(?1,??)上恒成立.
x?111即m??2x2?2x??2(x?)2?在(?1,??)上恒成立.
2211∵?2(x?)2?在(?1,??)上没有最小值 ∴不存在实数m使f?(x)?0在(?1,??)上恒成立.
221综上所述，实数m的取值范围是[,??).
2则m??2x2?2x??2(x?)2?12（2）当m??1时，函数f(x)?x?ln(x?1). 令g(x)?f(x)?x??x?x?ln(x?1)
233213x3?(x?1)2??则g?(x)??3x?2x? x?1x?12显然，当x?(0,??)时，g?(x)?0，所以函数g(x)在(0,??)上单调递减 又g(0)?0，所以，当x?(0,??)时，恒有g(x)?g(0)?0，
3即f(x)?x?0恒成立. 故当x?(0,??)时，有f(x)?x
3（3）数学归纳法
0证明：1、当n?1时，左边=e?1，右边=
1?4?2，原不等式成立. 222、设当n?k时，原不等式成立，即e0?e?1?4?e?2?9???e(1?k)?k?则当n?k?1时，左边=e?e只需证明
0?1?4?e?2?9???e(1?k)?k2?e(1?k?1)?(k?1)2k(k?3) 2k(k?3)?k?(k?1)2 ??e222k(k?3)(k?1)?(k?4) 即证e?k?(k?1)?k?2 ?e?k?(k?1)?222即证?k?(k?1)?ln(k?2)
由（2）知x?x?ln(x?1),x?(0,??) 即x(1?x)?ln(x?1), 令x?k?1，即有?k?(k?1)?ln(k?2) 所以当n?k?1时成立 综上可知，原不等式成立
2232??x?1?2t23．解：(1)由?，得x?y?1 ?直线的极坐标方程为?cos???sin??1
??y?2t???即2?(cos?cos?sin?sin)?1 即2?cos(??)?1
444sin?sin?22 即曲线的普通方程为 C??cos??sin?y?xQ?????221?sin?cos?(2)设P(x0,y0)，y0?x02
123123?(x?)?(x?)?00x0?y0?1x0?x0?12424 ????P到直线的距离d?22222?当x0?32111时，dmin? ?此时P(，) 22483211 ?当P点为(,)时，P到直线的距离最小，最小值为248?3x?6???????(x??1)?24.解：（1）当m?5时，f(x)???x?2????(?1?x?1)，
?4?3x????(x?1)?由f(x)?2易得不等式的解集为{x|?224?x?0} 3（2）由二次函数y?x?2x?3?(x?1)?2，该函数在x??1取得最小值2，
?3x?1?m???????(x??1)?∵f(x)???x?3?m????(?1?x?1)在x??1处取得最大值m?2
??3x?m?1????(x?1)?∴ 要使二次函数y?x?2x?3与函数y?f(x)的图象恒有公共点， 只需m?2?2，即m?4。
2高考模拟数学试卷
数学（文科）
参考公式：独立性检验中随机变量K2的计算公式：
n?ad?bc?，（其中n?a?b?c?d）. K??a?b??c?d??a?c??b?d?22临界值表：
P?K2?k? 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A??1,2,3,4?，B?xx2?x?6?0，则AIB?（ ） A．?1? B．?1,2? C．?2,3? D．?1,2,3? 2．已知x、y?R，i是虚数单位，若x?yi与
??2?i互为共轭复数，则x?y?（ ） 1?iA．?2 B．?1 C．1 D．2
3．某同学利用课余时间做了一次社交软件使用习惯调查，得到2?2列联表如下：
30岁以下 30岁以上 合计 偏爱微信 4 16 20 偏爱QQ 8 2 10 合计 12 18 30 则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关 B．在犯错的概率超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关 C．在犯错的概率不超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关 D．在犯错的概率超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关
x2y2?1（a?0）的一个焦点与抛物线y2?8x的焦点重合，则a?（ ） 4．已知双曲线2?a3A．1 B．2 C．13 D．19 5．下列命题中，正确的是（ ）
A．命题：“?x??0,????4??，sinx?cosx”的否定是“?x0??0,?????，sinx?cosx” 4?B．函数y?sinx?cosx的最大值是2 C．已知a，b为实数，则a?b?0的充要条件是
2a??1 bD．函数y?2cos?x???????1既不是奇函数，也不是偶函数 4?6．运行如图所示的程序框图，若输入的n?3，x?2，则输出的y的值为（ ）
A．9 B．18 C．20 D．35
uuuruuuruuuruuuruuuruuur7．已知向量AB?2，CD?1，且AB?2CD?23，则向量AB和CD的夹角为（ ）
A．30? B．60? C．120? D．150? 8．在区间??1,0?上任取两实数x、y，则y?3x的概率是（ ）
1125 B． C． D． 6336a9．函数f?x??x?（a?R）的图象不可能是（ ） ．．．
xA．
A． B． C． D． 10．已知函数f?x??sin??x????1（??0，0????2）的图象相邻两条对称轴之间的距离为?，
且在x??3时取得最大值2，若f??????8?5??，且???，则sin?2???的值为（ ）
3?536?A．
12122424 B．? C． D．? 2525252511．某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x元），于是该产品定价每件比第一年增加了
70?x%元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在该产品经营中收取
1?x%的管理费不少于14万元，则x的最大值是（ ） A．2 B．6 C．8.5 D．10
12．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为（ ） A．22?2?23?3? B． C． D． 3333第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
?1?13．函数f?x?????2的定义域是 ．
?2?14．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若?取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为 ．
x
15．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 ．
16．VABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin???2?3，且a?c?2，则B???4?2?2VABC的周长的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?1?Sn?（Ⅰ）证明：数列?n?1，且a1?1. ?an（n?N*）
3n?an??是等比数列； n??（Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn.
男 5 8 6 4 2 5 15 16 17 18 19 女 6 3 2 5 2 5 3 7 3 8 6 8 8 8 （Ⅰ）计算上线考生中抽取的男生成绩的方差s2；（结果精确到小数点后一位）
（Ⅱ）从上述茎叶图180分以上的考生中任选2人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率.
19．如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?平面ABC，BC?AC，M是AB上的动点，
CB?CA?CC1?2.
（Ⅰ）若点M是AB中点，证明：平面MCC1?平面ABB1A1；
（Ⅱ）判断点M到平面A1B1C的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
x2y220．已知椭圆2?2?1（a?b?0）的两个顶点分别为A?0,b?和C?0,?b?，两个焦点分别为F1??c,0?ab和F2?c,0?（c?0），过点E?3c,0?的直线AE与椭圆相交于另一点B，且F1A∥F2B. （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线F2B上有一点H?m,n?（m?0）在VAF1C的外接圆上，求
n的值. m2?alnx?x?c,x?c???21．已知函数f?x???（其中a?0，c?0）.
2??alnx??x?c?,0?x?c（Ⅰ）当a?2c?2时，若f?x??1对任意x??c,???恒成立，求实数a的取值范围； 4（Ⅱ）设函数f?x?的图象在两点Px1,f?x1?、Qx2,f?x2?处的切线分别为l1、l2，若x1??????a，2x2?c，且l1?l2，求实数c的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程
?x?1?2cos?在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为?（?为参数），以O为极点，x轴的
?y?2sin?非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C1的普通方程； （Ⅱ）极坐标方程为2?sin???????3???33的直线l与C1交P、Q两点，求线段PQ的长. 23．选修4-5：不等式选讲
设函数f?x??x?1?x?1?a（a?R）. （Ⅰ）当a?1时，求不等式f?x??0的解集；
（Ⅱ）若方程f?x??x只有一个实数根，求实数a的取值范围.
湛江市2017年普通高考测试题（二）
数学（文科） 参考答案及评分意见
一、选择题
1-5DDAAB 6-10BCACD 11、12：DB 二、填空题
13．???,?1? 14．1.6 15．乙 16．?3,4? 三、解答题
17．解：（Ⅰ）依题意可得：Sn?1?Sn?n?1?an， 3n?an?1?an?11a?an，?n?1??n. 3nn?13n1?an??是首项为1，公比q?的等比数列.
3?n?又a1?1，?数列?（Ⅱ）令bn?ban1a，?n?1?.又Qb1?1?1，
bn3n11?数列?bn?是以1为首项，为公比的等比数列.
3?1??bn?b1????3?n?1?1?????3?n?1?1?.?an?n????3?2n?1（n?N*）.
n?2n?1?1??1??1??1?QSn?1????2????3????L??n?1?????3??3??3??3?12301?1??n????3?，
n1?1??1??1??1???Sn?1????2????3????L??n?1????3?3??3??3??3??两式相减得：
n?1?1??n???.
?3?2?1??1??1??1???Sn?1??????????L???3?3??3??3??3?n?1123n?1?1??n???.
?3?n1?1?1????nn23?33?3?1???1????Sn??n???????n???.
132?2?3???3?1?39?93n??1??Sn???????.
4?42??3?18．解：（Ⅰ）依题意：样本中男生共6人，成绩分别为164、165、172、178、185、186.
n?他们的总分为1050，平均分为175.
?s2?1?222?76.7. ?11????10????3??32?102?112?????6（Ⅱ）样本中180分以上的考生有男生2人，记为A、B，女生4人，记为a、b、c、d， 从中任选2人，有AB、Aa、Ab、Ac、Ad、Ba、Bb、Bc、Bd、ab、ac、ad、bc、bd、cd共15种，
符合条件的有：Aa、Ab、Ac、Ad、Ba、Bb、Bc、Bd8种， 故所求概率P?8. 1519．解：（Ⅰ）证明：
QBC?AC，M是AB中点，?CM?AB.
QAA1?平面ABC，CM?平面ABC，?CM?AA1.
QAB?平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，且ABIAA1?A ?CM?平面ABB1A1.
QCM?平面MCC1，?平面MCC1?平面ABB1A1.
（Ⅱ）QAB∥A1B1,A1B1?平面A1B1C，AB?平面A1B1C，
?AB∥平面A1B1C.
?点M到平面A1B1C的距离是定值.
令点M平分AB，作A1B1的中点M1，连结MM1，C1M1，CM1，过M作MO?CM1， 垂足为O，显然C、M、M1、C1共面.
QAB?平面MCC1M1，AB∥A1B1，?A1B1?平面MCC1M1.
QMO?平面MCC1M1，?A1B1?MO.又QMO?CM1，CM1?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，
?MO?平面A1B1C，即MO为所求.
QCB?CA?CC1?2，BC?AC，?AB?CA2?CB2?22.
?CM?BC2?BM2?2.?CM1?CM2?MM12?6. 2?22311. Q?MO?CM1??CM?MM1，?MO??2236?点M到平面A1B1C的距离
23. 3
20．解：（Ⅰ）QEF2?3c?c?2c?F1A∥F2B， 1F2，且F?点B是点A和点E的中点.
?3cb?QA?0,b?，E?3c,0?，?点B的坐标为?,?.
?22?9212cbxyc344代入2?2?1得：2?2?1，??
a3abab22?离心率e?3. 32?c?1（Ⅱ）由（Ⅰ）e2????得a2?3c2，b2?a2?c2?2c2，
?a?3222所以椭圆的方程可设为2x?3y?6c.
若A0,2c，则C0,?2c.
????线段AF1的垂直平分线l的方程为y?22?c?c??x???. 22?2?直线l与x轴的交点?,0?是VAF1C外接圆的圆心，
?c?2??c???c?因此外接圆的方程为?x???y2???c?.
2???2?直线F2B的方程为y?222?x?c?，于是点H?m,n?的坐标满足方程组
52???c?9c2m?c2???m???n?3?2?4，由m?0解得?. ???n?22c?n?2m?c????3?故
n22?. m521．解：（Ⅰ）依题意：当x?c，a?2c?2时，
x??c?1??2x2?cx?a2?x?1??a??. ??f?x???2?x?c??xxxQa?0，c?0，且c?x ?
a?1，?0?c?1. 2x??c,1? 单调递减 x?1 0 极小值 2x??1,??? ? 单调递增 f??x? f?x? ?函数f?x?在?c,???上的最小值为f?1???1?c???要令f?x??又Qc?12a. 4111恒成立，只需a2?恒成立，即：a??1或a?1（舍去）. 444a?1?0，?a??2. 2?实数a的取值范围是??2,?1?.
（Ⅱ）由l1?l2可得：f??????a??f??c???1， ??2?而f??c???a?ca，?f??????.
?2?ac??当?a?c时，则 2?f????a?a?2????2c??aa?c2?2????. ??2c???a2?a?21，矛盾. 2即：a?当??a?c时，则f???2?a?a??2????2c??aa?c2?2????. ???8a?2c???a2?a?2?c?a?8a. 2a?1Qa?0，c?0，?2a?1?0.
t21即：a??，令?8a?t，则a??（t?2），
822t2?t2?12?t3设g?t??2，则g??t??. 222t?8?2t?8?t2??tt38?2?c?2.
t2t?8??14t ?
t?2,23 单调递减 ??t?23 t?23,?? 0 极小值 ??g??t? g?t? ? 单调递增 ?函数g?t?的最小值为g23???3333.?实数c的最小值为. 2222．解：（Ⅰ）QC1可化为：?即：?x?1??y2?4. （Ⅱ）Q2?sin???2?x?1?2cos?.
?y?2sin???????33. 3??????2??sin?cos?cos?sin??33，
33??即：?sin??3?cos??33?0，
?直线l的普通方程为3x?y?33?0.
Q曲线C1是以点?1,0?为圆心，2为半径的圆， ?圆心到直线l的距离d?3?33?3?2?3. ?12?PQ?22?2?3?2?2.
23．解：（Ⅰ）依题意：原不等式等价于：x?1?x?1?1?0，
?当x??1时，??x?1???x?1??1?0，即：?1?0，此时解集为?；
当?1?x?1时，x?1??x?1??1?0，即：x??11，此时??x?1； 22当x?1时，x?1??x?1??1?0，即：3?0，此时x?1. 综上所述：所求的解集为：?xx???.
（Ⅱ）依题意：方程f?x??x等价于a?x?1?x?1?x， 令g?x??x?1?x?1?x.
??1?2?x??1?x?2,??g?x????x,?1?x?1（图象如图）.
?x?2,x?1?
?要令原方程只有一个实数根，只需a?1或a??1. ?实数a的取值范围是???,?1?U?1,???.
高考模拟数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
z?i，则复数z在复平面内对应的点的坐标是（ ） 2?z1111A．(?,) B．(?1,1) C．(,?) D．(1,?1)
22221.已知i是虚数单位，复数z满足
2.已知全集U?R，集合A?{x|x(x?2)?0}，B?{x||x|?1}，则下图阴影部分表示的集合是（ ）
A．(?2,1) B．[?1,0]U[1,2) C．(?2,?1)U[0,1]
D．[0,1]
3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X?4)?0.1587，则P(2?X?4)=（ ） A.0.6826 B．0.3413 C.0.4603 D．0.9207
4.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1?111?1?L中“…”即
代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1?5?11.类似上述过程，则?x求得x?2x3?23?2L=（ ）
A.3 B．13?1 C.6 D．22 25.执行下面的程序框图，如果输入的a?3，则输出的n=（ ）
A．2 B．3 C.4 D．5
6.在?ABC中，AB?3，AC?2，?BAC?60?，点P是?ABC内一点（含边界），若
uuuruuur2uuuruuurAP?AB??AC，则|AP|的取值范围为（ ）
3A.[2,213213210?338] D．[2,] ] B．[2,] C.[0,33337.已知某产品的广告费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：
x 3 25 ^4 30 ^^5 40 6 45 y 由上表可得线性回归方程y?bx?a，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是（ ） A．59.5 B．52.5 C．56 D．63.5
附：b?^?(x?x)?(y?y)?xy?nxyiiiii?1nn?(x?x)ii?1n=2?xi?1i?1n；a?y?bx
^^2i?n(x)28.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（ ）
A．33 B．26 C.21 D．25 *x9.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn?3)(n?N)在函数y?3?2的图象上，等比数列{bn}满足
bn?bn?1?an(n?N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是（ ）
A.Sn?2Tn B．Tn?2bn?1 C. Tn?an D．Tn?bn?1
10.已知函数f(x)是偶函数，f(x?1)是奇函数，且对于任意x1，x2?[0,1]，且x1?x2，都有
(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0，设a?f(825024 )，b??f()，c?f()，则下列结论正确的是（ ）
1197A．a?b?c B．b?a?c C.b?c?a D．c?a?b
?4x?y?8?0,?2211.已知实数x，y满足条件?2x?3y?6?0,若x?2y?m恒成立，则实数m的最大值为（ ）
?x?y?2?0,?A．5 B．
48 C.2 D． 33212.已知点P在抛物线y?x上，点Q在圆(x?)2?(y?4)2?1上，则|PQ|的最小值为（ ）
12A．
3533?1 B．?1 C.23?1 D．10?1 22第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ． 14.
?2?1(1?x2?sinx)dx= ．
15.在?ABC中，AB?2，AC?3，?BAC?90?，点D在AB上，点E在CD上，且
?ACB??DE??DEB，则DC= ．
16.已知过点A(?2,0)的直线与x?2相交于点C，过点B(2,0)的直线与x??2相交于点D，若直线CD22与圆x?y?4相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 . 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知m?(3sinxxxx,cos)，n?(cos,cos)f(x)?m?n. 3333（1）若函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2a?b)cosC?ccosB，f(A)?c分别是?ABC分内角A，（2）若a，且a?2，B，C所对的边，b，
求c.
3，218.购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均购次数不小于4次的市民称为购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.
（1）根据已知条件完成下面的2?2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关？
年龄不超过40岁 年龄超过40岁 购迷 非购迷 合计 合计
（2）若从购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数?的分布列与期望.
n(ad?bc)2附：k?；
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P(K2?k0) k0
0.15 2.072 0．10 2.706 0.05 3.841 0.01 6.635 19.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面ACC1A1?底面ABC，?A1AC?60?，AC?2AA1?4，点D，E分别是AA1，BC的中点.
（1）证明：DE//平面A1B1C；
（2）若AB?2，?BAC?60?，求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值. 20. 已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x??2的距离小1，动点C的轨迹为E. （1）求曲线E的方程；
uuuruuur（2）若直线l:y?kx?m(km?0)与曲线E相交于A，B两个不同点，且OA?OB?5，证明：直线l经
过一个定点.
221. 已知函数f(x)?x?2x?1，g(x)?2aln(x?1)(a?R).
（1）求函数h(x)?f(x)?g(x)的极值；
（2）当a?0时，若存在实数k，m使得不等式g(x)?kx?m?f(x)恒成立，求实数a的取值范围. 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
?x?2?2cos?,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（?为参数）.以原点O为极点，x轴正半
y?2sin??轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??4sin?.
（1）求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）已知曲线C3的极坐标方程为???(0????,??R)，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|?42，求实数?的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数f(x)?2|x?a|?|x?1|(a?0). a（1）当a?1时，解不等式f(x)?4； （2）求函数g(x)?f(x)?f(?x)的最小值.
数学（理） 参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5BCAAC 6-10DABDB 11、12：DA
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
x213?y2?1(y?0) 13.0.4 14. 15. 16.424?三、解答题（本大题共70分） 17.解：（1）Qf(x)?m?n?3sinxxxcos?cos2， 333?32x12x2x?1sin?(cos?1)?sin(?)?， 2323362?f(x)的最小正周期为3?，
令??2?2k??2x??????2k?，k?Z，则???3k??x??3k?， 3622?f(x)的单调递增区间为[???3k?,?2?3k?](k?Z)；
（2）Q(2a?b)cosC?ccosB，?2sinAcosC?sinBcosC?cosBsinC?sinA，
1?Q0?A??，?sinA?0，?cosC?，?C?，
232A?132A??f(A)?sin(?)??，?sin(?)?1，
3622362A???????2k?，k?Z，?A?，
3622??c?asinC?2sin?3. 318.解：（1）由题意可得列联表如下：
年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 购迷 20 5 25 非购迷 45 30 75 合计 65 35 100
假设购迷与年龄不超过40岁没有关系，
100?(20?30?45?5)2?3.297?2.706. 则k?65?35?25?75所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关；
（2）由频率分布直方图可知，购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数?的所有取值为0，1，2，
211C20C20C5C521911P(??0)?2?，P(??1)?2?，P(??2)?2?，
C2530C253C2530??的分布列为
? P 0 1 2 191 30319112?E??0??1??2??.
3033051 3019.解：（1）证明：取AC的中点F，连接DF，EF，
QE是BC的中点，?EF//AB， QABC?A1B1C1是三棱柱，?AB//A1B1， ?EF//A1B1，?EF//平面A1B1C，
QD是AA1的中点，?DF//A1C，?DF//平面A1B1C， ?平面DEF//平面A1B1C， ?DE//平面A1B1C；
（2）过点A1作A1O?AC，垂足为O，连接OB，
Q侧面ACC1A?底面ABC，?A1O?平面ABC， ?A1O?OB，A1O?OC，
Q?A1AC?60?，AA1?2，?OA?1，OA1?3， QAB?2，?OAB?60?，由余弦定理得， OB2?OA2?AB2?2OA?ABcos?BAC?3，
?OB?3，?AOB?90?，?OB?AC，
分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系O?xyz， 由题设可得A(0,?1,0)，C(0,3,0)，B(3,0,0)，A，D(0,?1(0,0,3)1333,)，E(,,0)， 2222ur设m?(x1,y1,z1)是平面ABB1A1的一个法向量，
uruuurur??m?AB?0,??3x1?y1?0,??则?ruuu令z1?1，?m?(1,?3,1)， r??n?AA1?0,??y1?3z1?0,uruuuruuururuuur33m?DE?2330ruuur?QDE?(,2,?)，?cos?m,DE??u，
2255|m||DE|?直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值为2330. 55
20.解：（1）由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x??1的距离，
?曲线E是以点(1,0)为焦点，直线x??1为准线的抛物线，
2设其方程为y?2px(p?0)，?p?1，?p?2， 2?动点C的轨迹E的方程为y2?4x；
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由??y?kx?m,222kx?(2km?4)x?m?0， 得2?y?4xm24?2km?x1?x2?，x1?x2?2. 2kkuuuruuurm2?4km22QOA?OB?5，?x1x2?y1y2?(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m=?5，
k2?m2?4km?5k2?0，?m?k或m??5k.
Qkm?0，m?k舍去，?m??5k，满足??16(1?km)?0， ?直线l的方程为y?k(x?5)， ?直线l必经过定点(5,0).
221. 解：（1）由题意得h(x)?(x?1)?2aln(x?1)，x?1，
2[(x?1)2?a]?h'(x)?，
x?1①当a?0时，则h'(x)?0，此时h(x)无极值；
②当a?0时，令h'(x)?0，则1?x?1?a；令h'(x)?0，则x?1?a；
?h(x)在(1,1?a]上递减，在(1?a,??)上递增； ?h(x)有极小值h(1?a)?a(1?lna)，无极大值；
（2）当a?0时，有（1）知，h(x)在(1,1?a]上递减，在(1?a,??)上递增，且有极小值
h(1?a)?a(1?lna)，
①当a?e时，h(1?a)?a(1?lna)?0，?f(1?a)?g(1?a)， 此时，不存在实数k，m，使得不等式g(x)?kx?m?f(x)恒成立； ②当0?a?e时，h(1?a)?a(1?lna)?0，
f(x)?x2?2x?1在x?1?a处的切线方程为y?2ax?(2a?a)，
令u(x)?f(x)?[2ax?(2a?a)]，x?1，
则u(x)?[x?(1?a)]?0，?2ax?(2a?a)?f(x)，
令v(x)?2ax?(2a?a)?g(x)?2ax?(2a?a)?2aln(x?1)，x?1，
2则v'(x)?2a[x?(1?a)]，
x?1令v'(x)?0，则1?x?1?a；令v'(x)?0，则x?1?a；
?v(x)?v(1?a)?a(1?lna)?0，?g(x)?2ax?(2a?a)， ?g(x)?2ax?(2a?a)?f(x)，
当k?2a，m??2a?a时，不等式g(x)?kx?m?f(x)恒成立，
?0?a?e符合题意；
由①，②得实数a的取值范围为(0,e].
22.解：（1）由??x?2?2cos?,22消去参数?可得C1普通方程为(x?2)?y?4，.
?y?2sin?Q??4sin?，??2?4?sin?，
由??x??cos?22，得曲线C2的直角坐标方程为x?(y?2)?4；
?y??sin?22（2）由（1）得曲线C1：(x?2)?y?4，其极坐标方程为??4cos?，
由题意设A(?1,a)，B(?2,a)，
则|AB|?|?1??2|?4|sin??cos?|?42|sin(???4)|?42，
????sin(??)??1，?????k?(k?Z)，
4423?Q0????，???.
423. 解：（1）Qa?1，?原不等式为2|x?1|?|x?1|?4，
x??1x?1,???1?x?1,???，或?或?
?2x?2?x?1?42x?2?x?1?4,2x?2?x?1?4,???5???x??1或?1?x?1或?，
35?原不等式的解集为(?,1).
3（2）由题意得g(x)?f(x)?f(?x)?2(|x?a|?|x?a|)?(|x?11|?|x?|) aa?2|2a|?22?4|a|??42， |a||a|
高考模拟数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． ．
参考公式：
1
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
3
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位
置上）
1．设集合A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝________▲． 2．若复数z＝(1＋mi)(2－i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为 ▲ ． 3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是 ▲ ．
4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若 一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________▲．
5．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ▲ ．
（第4题图）
开始 k←1 S←1 S←S＋3k－1 k←k＋1 S ＞16N Y 输出k 结束 （第5题图）
6．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3＝a2且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于 ▲ ． 2，7．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥
A—A1EF的体积是________▲．
C A1
F E
C1
B1
ππ
8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为π，且它的图象过点(－，－2)，则φ的
212
值为________▲．
??1x＋1，x≤0，
9．已知函数f(x)＝?2则不等式f(x)≥－1的解集是________▲．
?－(x－1)2，x＞0，?
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y2＝2px(p＞0)
x2y2
的焦点为F，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条
ab
渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是________▲.
27→→11．在△ABC中，A＝120°，AB＝4．若点D在边BC上，且BD＝2DC，AD＝3，则AC的长为________▲． 12．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切
线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________▲．
13．已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，集合Q＝
11
{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠?，则－的最大值是________▲．
ab
14．若存在两个正实数x、y，使得等式x＋a(y－2ex)(lny－lnx)＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实
数a的取值范围为________▲．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
π5已知α为锐角，cos(α＋)＝．
45π
（1）求tan(α＋)的值；
4π
（2）求sin(2α＋)的值．
3
16．(本小题满分14分)
如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点． （1）求证：PB∥平面MNC；
（2）若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.
NP
17．(本小题满分14分)
如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？
18． (本小题满分16分)
x2y2a→在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：2＋2＝1(a＞b＞0)上．若点A(－a，0)，B(0，)，且AB
ab33→＝BC． 2
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线
l不与y轴重合．
6
①若点P(－3，0)，直线l过点(0，－)，求直线l的方程；
7
②若直线l过点(0，－1) ，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围．
19．(本小题满分16分)
对于函数f(x)，在给定区间[a，b]内任取n＋1(n≥2，n∈N*)个数x0，x1，x2，…，xn，使得
n-1
AMBC（第16题图）
道路2CBA道路1（第17题图） a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，记S＝∑|f(xi＋1)－f(xi)|．若存在与n及xi(i≤n，i∈N)均无关的正数
i=0
A，使得S≤A恒成立，则称f(x)在区间[a，b]上具有性质V． （1）若函数f(x)＝－2x＋1，给定区间为[－1，1]，求S的值； x
（2）若函数f(x)＝x，给定区间为[0，2]，求S的最大值；
e
1（3）对于给定的实数k，求证：函数f(x)＝klnx－x2 在区间[1，e]上具有性质V．
2
20．(本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝(－1)nSn ＋pn(p为常数，p≠0)． （1）求p的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设集合An＝{a2n－1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn． 若b1≠c1，求证：对任意n∈N*，Pn≠Qn．
数学附加题
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． ．．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域．．．．．．．
内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE?BC，垂足为E，
E B C 连接AE交⊙O于点F．求证：BE?CE＝EF?EA．
F D
B．选修4—2：矩阵与变换
A O
? 3 a?
已知a，b是实数，如果矩阵A＝?? 所对应的变换T把点(2，3)变成点(3，4)．
? b －2?
（1）求a，b的值．
（2）若矩阵A的逆矩阵为B，求B2．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方
?x＝2cos t，π3
程为ρsin(－θ)=，椭圆C的参数方程为?(t为参数) ．
32?y＝3sin t
（1）求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程； （2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4—5：不等式选讲
解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出 ．．．．．．．． 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
21
甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各
32投一球．
（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；
（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．
23．（本小题满分10分）
设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*，n≥2． （1）设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值； （2）设bk＝的值．
k＋1Sm
ak＋1(k∈N，k≤n－1)，Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(m∈N，m≤n－1)，求| |
mn－k C－
n1
数学 参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位
置上）
11
1． {x|－2＜x＜1} 2．－2 3． 4． 9 5． 5 6． 19 7． 83
36π228．－ 9． [－4，2] 10．y＝±2x 11．3 12． [2－，2＋]
12221113． 14．a＜0或a≥
2e
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
πππ3π
解：（1）因为α∈(0，），所以α＋∈(，)，
2444π
所以sin(α＋)＝
4
π25
1－cos2(α＋)＝，……………………………………………………………3分
45
πsin(α＋)
4π所以tan(α＋)＝＝2．………………………………………………………………………6分
4π
cos(α＋)4ππππ4
（2）因为sin(2α＋)＝sin[2(α＋)]＝2 sin(α＋) cos(α＋)＝，…………………………………9分
24445πππ3cos(2α＋)＝cos[2(α＋)]＝2 cos2(α＋)－1＝－，………………………………………………12分
2445πππππππ43＋3
所以sin(2α＋)＝sin[(2α＋)－]＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin＝．………………14分
326262610
16．(本小题满分14分)
证：（1）因为M，N分别为AB，PA的中点，
所以MN∥PB． …………………………………2分 因为MN?平面MNC，PB?平面MNC，
AMNP所以PB∥平面MNC. ……………………………………4分 （2）因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN. ……………6分
CB因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. ……………8分
因为平面PAB⊥平面ABC，CM?平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB， 所以CM⊥平面PAB． …………………………………12分 因为PA?平面PAB，所以CM⊥PA．
因为PA⊥MN，MN?平面MNC，CM?平面MNC，MN∩CM＝M，
所以PA⊥平面MNC. ……………………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)
解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy． 设A(a，0)，B(0，b)(0＜a＜1，0＜b＜1)， xy
则直线AB方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0．
ab因为AB与圆C相切，所以
|b＋a－ab|
＝1．……………4分
b2＋a2
y道路2CBOx化简得 ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2．
……………6分
A道路1
因此AB＝ a2＋b2＝ (a＋b)2－2ab＝ (a＋b)2－4(a＋b)＋4
＝ (a＋b－2)2．
………………8分
因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2， 于是AB＝2－(a＋b)． a+b2
又ab＝2(a＋b)－2≤()，
2
解得0＜a＋b≤4－22，或a＋b≥4＋22．
因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－22，………………………………………12分
所以AB＝2－(a＋b) ≥2－(4－22)＝22－2，
当且仅当a＝b＝2-2时取等号，
所以AB最小值为22－2，此时a＝b＝2-2．
答：当A，B两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB最短．……………14分 解法二：如图，连接CE，CA，CD，CB，CF． ππ
设∠DCE＝θ，θ∈(0，)，则∠DCF＝－θ．
22θ
在直角三角形CDA中，AD＝tan．………………4分
2πθ
在直角三角形CDB中，BD＝tan(－)，………6分
42θπθ
所以AB＝AD＋BD＝tan＋tan(－) 242θ
1－tan
2θ
＝tan＋．………………………8分
2θ 1＋tan
2θ
令t＝tan，0＜t＜1，
2
1－t2 则AB＝f(t)＝t＋＝＝t＋1＋－2≥22－2，
1＋t1＋t
当且仅当t＝2－1时取等号．………………………12分 所以AB最小值为22－2，
此时A，B两点离两条道路交点的距离是1－(2－1)＝2－2．
答：当A，B两点离道路的的交点都为2－2(百米)时，小道AB最短．……………14分 18．(本小题满分16分)
道路2FBDAEC道路1a→a→解：（1）设C (x0，y0)，则AB＝(a，)，BC＝(x0，y0－)．
33a3a33a→3→因为AB＝BC，所以(a，)＝(x0，y0－)＝(x0，y0－)，
2323222
2
x0＝a，
3
得5 ………………………………………………………2分
y0＝a，
9
???
9
代入椭圆方程得a2＝b2．
5
c2因为a2－b2＝c2，所以e＝＝．………………………………………4分
a3（2）①因为c＝2，所以
a2＝9，b2＝5，所以椭圆的方程为
x2y2
＋＝1， 95
x02y02
设Q (x0，y0)，则＋＝1．……① ………………………………………………6分
95x0－3y0
因为点P(－3，0)，所以PQ中点为(，)，
22
6
因为直线l过点(0，－)，直线l不与y轴重合，所以x0≠3，
7
y06＋27y0
所以·＝－1， ………………………………………………8分
x0－3 x0＋32化简得x02＝9－y02－
12
y．……② 70
1515y0＝0，解得y0＝0（舍），或y0＝． 77
将②代入①化简得y02－
156615
将y0＝代入①得x0＝±，所以Q为(±，)，
777759
所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为－1或－，
95
696
所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x＋．……………………………………………10分
7571
②设PQ：y＝kx+m，则直线l的方程为：y＝－x－1，所以xD＝－k．
k
将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(5＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－45＝0．…………①， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N， xN＝
x1＋x29km5m
＝－，代入直线PQ的方程得yN＝，……………………………………12分 225+9k5+9k2
代入直线l的方程得9k2＝4m－5． ……② 又因为△＝(18km)2－4(5＋9k2) (9m2－45)＞0，
化得m2－9k2－5＜0． ………………………………………………14分 将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，
11111111
所以－＜k＜，且k≠0，所以xD＝－k∈(－，0)∪(0，)．
3333
1111
综上所述，点D横坐标的取值范围为(－，0)∪(0，)．………………………………16分
3319．(本小题满分16分)
（1）解：因为函数f(x)＝－2x＋1在区间[－1，1]为减函数， 所以f(xi＋1)＜f(xi)，所以|f(xi＋1)－f(xi)|＝ f(xi)－f(xi＋1)．
n-1
S＝∑|f(xi＋1)－f(xi)|＝[ f(x0)－f(x1)]+[ f(x1)－f(x2)]+…+[ f(xn-1)－f(xn)]
i=0
＝f(x0)－f(xn)＝f(－1)－f(1)＝4． …………………………………………2分 (2) 解：由f′(x)＝
1－x
＝0，得x＝1． ex
当x＜1时，f′(x)＞0，所以f (x)在(－∞，1)为增函数； 当x＞1时，f′(x)＜0，所以f (x)在(1，＋∞)为减函数；
1
所以f (x)在x＝1时取极大值． …………………………………………4分
e设xm≤1＜xm＋1，m∈N，m≤n－1，
n-1
则S＝∑|f(xi＋1)－f(xi)|
i=0
＝|f(x1)－f(0)|＋…＋|f(xm)－f(x m－1)|＋|f(xm＋1)－f(x m)|＋|f(xm＋2)－f(x m＋1)|＋…＋|f(2)－f(x n－1)| ＝[f(x1)－f(0)]＋…＋[f(xm)－f(x m－1)]＋|f(xm＋1)－f(x m)|＋[f(xm＋1)－f(x m＋2)]＋…＋[f(xn－1)－f(2)] ＝[f(xm)－f(0)]＋|f(xm＋1)－f(x m)|＋[f(xm＋1)－f(2)]． …………………………………………6分 因为|f(xm＋1)－f(x m)|≤[f(1)－f(xm)]＋[f(1)－f(xm＋1)]，当x m＝1时取等号， 所以S≤f(xm)－f(0)＋f(1)－f(xm)＋f(1)－f(xm＋1)＋f(xm＋1)－f(2) ＝2 f(1)－f(0)－f(2)＝
2(e－1)
. e2
2(e－1)
所以S的最大值为． …………………………………………8分
e2k－x2k
（3）证明：f′(x)＝－x＝，x∈[1，e]．
xx
①当k≥e2时，k－x2≥0恒成立，即f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在[1，e]上为增函数，
n-1
所以S＝∑|f(xi＋1)－f(xi)|＝[ f(x1)－f(x0)]+[ f(x2)－f(x1)]+…+[ f(x n)－f(xn-1)]
i=0
11
＝f(x n)－f(x0)＝f(e)－f(1)＝k+－e2．
22
11
因此，存在正数A＝k+－e2，都有S≤A，因此f(x)在[1，e]上具有性质V．…………………10分
22②当k≤1时，k－x2≤0恒成立，即f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在[1，e]上为减函数，
n-1
所以S＝∑|f(xi＋1)－f(xi)|＝[ f(x0)－f(x1)]+[ f(x1)－f(x2)]+…+[ f(xn-1)－f(xn)]
i=0
11
＝f(x0)－f(xn)＝ f(1)－f(e)＝ e2－k－．
22
11因此，存在正数A＝e2－k－，都有S≤A，因此f(x)在[1，e]上具有性质V．…………………12分
22③当1＜k＜e2时，由f′(x)＝0，得x＝k；当f′(x)＞0，得1≤x＜k；
当f′(x)＜0，得k＜x≤e，因此f(x)在[1，k)上为增函数，在(k，e]上为减函数． 设xm≤k＜xm+1，m∈N，m≤n－1
n－1
则S＝∑|f(xi＋1)－f(xi)|
i＝1
＝|f(x1)－f(x0)|+…+|f(xm)－f(x m－1)|+ |f(xm+1)－f(x m)|+ |f(xm+2)－f(x m+1)|+…+|f(xn)－f(x n－1)| ＝f(x1)－f(x0)+…+f(xm)－f(x m－1) + |f(xm+1)－f(x m)|+ f(xm+1)－f(x m+2) +…+f(xn－1)－f(x n) ＝f(xm)－f(x0) + |f(xm+1)－f(x m)| + f(xm+1)－f(x n)
≤f(xm)－f(x0) + f(xm+1)－f(x n)+ f(k)－f(xm+1)+ f(k)－f(xm)
1111
＝2 f(k)－f(x0)－f(x n)＝klnk－k－[－+k－e2]＝klnk－2k＋+e2．
2222
11
因此，存在正数A＝klnk－2k＋+e2，都有S≤A，因此f(x)在[1，e]上具有性质V．
22
1
综上，对于给定的实数k，函数f(x)＝klnx－x2 在区间[1，e]上具有性质V．……………16分
2
20．(本小题满分16分)
p
解：（1）由a1＝－S1＋p，得a1＝．………………………………………………………2分
2p
由a2＝S2＋p2，得a1＝－p2，所以＝－p2．
2
1又p≠0，所以p＝－． …………………………………………………………3分
2
?a＝(－1)S＋(－2)， ……①1
（2）由a＝(－1)S＋(－)，得?
12
?a＝－(－1) S＋(－2)， ……②
n
nn
n
n
nn
n
n＋1
n
n＋1
n＋1
1
11
①＋②得an＋an＋1＝(－1)n(－an＋1)＋×(－)n． …………………………………………5分
2211
当n为奇数时，an＋an＋1＝an＋1－×()n，
22
1＋
所以an＝－()n1． ………………………………………………………………7分
211
当n为偶数时，an＋an＋1＝－an＋1＋×()n，
22
111＋111
所以an＝－2an＋1＋×()n＝2×()n2＋×()n＝()n，
222222
?－2，n为奇数， n∈N*，
所以a＝? ………………………………………………9分
1
? 2 ， n为偶数，n∈N*．
n＋1
n
n
1
11
（3）An＝{－n，n}，由于b1≠c1，则b1 与c1一正一负，
4411
不妨设b1＞0，则b1＝，c1＝－．
44
123n
则Pn＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn≥－(2＋3+…＋n)．……………………………………………12分
4444n－1n23n12设S＝2＋3+…＋n，则S＝3＋…＋n+n＋1，
4444444
1－
1－()n1
43211n11n711n7
两式相减得S＝2＋3+…＋n－n＋1＝＋×－n＋1＝－×n－1－n＋1＜．
4444416161481244844
1－4所以S＜
7471211171
×＝，所以Pn≥－(2＋3+…＋n)＞－＝＞0．………………………14分 48336444443618
1171
因为Qn= c1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n≤－＋S＜－＋ ＝－＜0，
443618
所以Pn≠Qn． ………………………………………………………………16分
数学附加题
参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域．．．．．．．
内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：连接BD．因为AB为直径，所以BD⊥AC． 因为AB＝BC，所以AD＝DC．……………………4分 因为DE?BC，AB?BC，所以DE∥AB，…………6分 所以CE＝EB．………………………………………8分 因为AB是直径，AB?BC，所以BC是圆O的切线，
D C E F O B A
所以BE2＝EF?EA，即BE?CE＝EF?EA．…………………………………………………………10分 B．选修4—2：矩阵与变换
? 3 a??2??3?
解：（1）由题意，得?? ＝，得6＋3a＝3，2b－6＝4，……………………………4分
? b －2??3??4?
所以a＝－1，b＝5．…………………………………………………………………………………6分
? 3 －1?? 2 －1?
（2）由（1），得A＝??．由矩阵的逆矩阵公式得B＝??．……………………8分
? 5 －2?? 5 －3?? －1 1?
所以B2＝??． ……………………………………………………………10分
? －5 4?
C．选修4—4：坐标系与参数方程
π3313313
解：（1）由ρsin(－θ)= ，得ρ(cosθ－sinθ)=，即x－y=，
32222222
化简得y=3x－3，所以直线l的直角坐标方程是y=3x－3．………………………………2分 x2y2x2y222
由()+()=cost+sint=1，得椭圆C的普通方程为+=1．……………………………4分 2433
??y=3x－3，x2
22（2）联立直线方程与椭圆方程，得?xy消去y，得+(x－1)2=1，
4
?? 4+3=1，
8
化简得5x2－8x=0，解得x1=0，x2=， ………………………………8分
583
所以A(0，－3)，B(，3)，
55则AB=8316
(0－)2+(－3－3)2=． ………………………………10分
555
D．选修4—5：不等式选讲
解：当x≤－2时，不等式化为(2－x)＋x(－x－2)＞2，
解得－3＜x≤－2； ………………………………………………3分 当－2＜x＜2时，不等式化为(2－x)＋x(x＋2)＞2，
解得－2＜x＜－1或0＜x＜2； …………………………………………………6分 当x≥2时，不等式化为(x－2)＋x(x＋2)＞2,
解得x≥2； ………………………………………………………9分 所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1或x＞0}．
……………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）
解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率
21213222111332321311．……………………………………………4分 P＝C13()()＋C3()()C3()＋C3()C3()＝3323323236（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以 ξ的概率分布列为
ξ P 0 7 241 11 242 5 243 1 24………………………………………………………………………………………8分
71151
所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．…………………………………………10分
2424242423．（本小题满分10分）
解：（1）因为ak＝(－1)k Ckn，
6＋C7＋C8＋C9＋C10＋C11 当n＝11时，|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|＝C111111111111
101＋…＋C10＋C11)＝210＝1024．………………………………………………3分 ＝( C11＋C111111
2
k＋1k＋1k＋1＋＋
（2）bk＝ak＋1＝(－1)k1 Cn＝(－1)k1 Ckn，……………………………………5分 n－kn－k
＋k＋1 (Ck＋Ck－1)＝(－1)k＋1 Ck－1＋(－1)k＋1 Ck 当1≤k≤n－1时，bk＝(－1)k1 Ckn＝ (－1)n－1n－1n－1n－1
－－1－(－1)k Ck． ……………………………………7分 ＝(－1)k1 Ckn－1n－1
Smb0当m＝0时，| |＝| |＝1． ……………………………………8分
m0 Cn－1 Cn－1当1≤m≤n－1时，
－－1－(－1)k Ck]＝－1＋1－(－1)m Cm＝－(－1)m Cm， Sm＝－1＋∑[(－1)k1 Ckn－1n－1n－1n－1
m
k=1
Sm 所以| |＝1．
m Cn－1Sm
综上，| |＝1． ……………………………………10分
m C
n－1
高考模拟数学试卷
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：
如果事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A，B独立，那么P?AB??P?A??P?B?
第I卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分。共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数
1?i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 3iB. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
A.第一象限 2.集合A?xy?A.R
?x,B??yy?log2x,x?0?，则A?B等于
B. ?
C. ?0，???
D. ?0，???
?3. 已知命题p:a?1或b?2，命题q:a?b?3，则p是q的 A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4. 将函数y?sin?2x?A. x?????6??图象向左平移
?个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 4?3
B. x??6C. x??12
D. x???12
5. 函数y?1的图象大致是
x?sinx
6.某班组织文艺晚会，准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A,B两个节目至少有一个选中，且A,B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为 A.1860
B.1320
xy
?yC.1140 D.1020
7.已知x,y?R，且2?3?2?3?x，则下列各式中正确的是
A.x?y?0 B. x?y?0 C. x?y?0 D.x?y?0
8. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的 正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几 何体的体积是 A.
5 6 B.
3 4 C.
1 2D.
1 69. 函数f?x??ex?x2?x?1与g?x?的图象关于直线2x?y?3?0 对称，P，Q分别是函数f?x?,g?x?图象上的动点，则PQ的最小 值为 A.（第8题图）
5 5B.
5
C.
25 5D. 25 x2y222210.过双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左焦点F1，作圆x?y?a的切线交双曲线右支于点P，切点
ab为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是 A. b?a?MO?MT C. b?a?MO?MT
B. b?a?MO?MT D. b?a?MO?MT
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数有_____个.
12. 若不等式8x?9?7和不等式ax?bx?2的解集相同，则
2x的个数共
a?b?______________.
rrrrrrrr13. 已知向量a,b满足a?2,b?3,2a?b?37，则a与b的夹
_________.
角为
?2x?y?4,?14. 在约束条件?x?y?m,下，当3?m?5时，目标函数
?x?0,y?0.?z?3x?2y的最大值的取值范围是____________（请用区间表示）.
15.对于函数f?x?，若存在区间A??m,n?，使得yy?f?x?,x?A?A，则称函数f?x?为“同域函数”，区间A为函数f?x?的一个“同城区间”.给出下列四个函数： ①f?x??cos???2x；②f?x??x2?1；③f?x??x2?1；④f?x??log2?x?1?.
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是_______________（请写出所有正确的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 已知函数f?x??3sin?xsin?（I）求?的值；
1??????x??cos2?x????0?，其图象两相邻对称轴间的距离为.
22?2?ur（II）设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c?7,f?C??0，若向量m??1,sinA?与向量
rn??3,sinB?共线，求a，b的值.
17. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥E?ABCD中，平面EAD?平面ABCD，DC//AB，BC?CD，EA?ED，AB=4,BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点. （I）证明：BD?AE；
（II）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值.
18. （本小题满分12分）
为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下： ①锻炼时间不超过1小时，免费；
②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元； ③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；
④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3. （1）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
（II）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量?，求?的分布列和数学期望E?.
19. （本小题满分12分）
在数列?an?中，a3?1,Sn是其前n项和，且Sn?an?1n?N?. （I）求an,Sn；
（II）设bn?log2Sn，数列?cn?满足cn?bn?3?bn?4?1?n?n?1??n?2??2n，数列?cn?的前n项和为Tn，
b??当n?1时，求使
2n?1成立的最小正整数n的值. Tn?2n?n?1520. （本小题满分13分） 设函数f?x??1?a2x?ax?lnx?a?R?. 2（I）当a?3时，求函数f?x?的极值； （II）当a?1，讨论函数f?x?的单调性；
f?x2??f?x1?（III）对任意x1，x2??0,???，且x1?x2,有?2?a恒成立，求a的取值范围.
x2?x1
21. （本小题满分14分）
x22已知F1,F2分别是椭圆2?y?1?a???的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1a的距离为2. （I）求椭圆的方程；
uuuuruuur（II）过F2的直线交椭圆于M,N两点，求F2M?F2N的取值范围；
（III）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q.
uuuruuur证明：OP?OQ为定值.
高考模拟数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回。
第一部分选择题（共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．设全集U=R，集合A={x|x2+x≥0}，则集合Cu A= （ ） A．[-1,0]
B．（-1,0）
C．（-∞，-1]U [0,+?）D．[0,1]
2．曲线y= x3－2x2在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A．y= x－2
B．y= -3x+2
C．y=2x－3
D．y=-x
3．已知数列{an}是等差数列，a2=2，a5=8，则公差d的值为（ ） A．
1 2B．?1 2C．2 D．-2
4．某几何体的正视图和侧视图均如左图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
5．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图
示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ） A． 47, 45, 56 C． 46, 45, 56
B． 46, 45, 53 D． 45, 47, 53
所
?x?y?3?6．设变量x，y满足约束条件?x?y??1，则目标函数z=2x+ 3y的最小值为
?2x?y?3? A．6
B．7
C．8
D． 23
7、两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5海里，灯塔A在观察站C的北偏东20o，灯塔B在观
察站C的南偏东40o，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）
A．5海里
B． 10海里
C．52海里 D．53海里
8．已知点A（1，0），若曲线G上存在四个点B，C，D，E．使△ABC与△ADE都是正三角形，则称曲
线G为“双正曲线”．给定下列四条曲线： ①4x+3y2=0；
②4x2+4y2=1；
③x2+2y2=2；
④x－3y=3
2
2
其中，“双正曲线”的个数是（ ） A．0
B．1
C．2
第二部分非选择题（共1 1 0分）
二、填空题（本大题分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。 （一）必做题（9~13题）
9．命题“?x0∈R，x02+ 2x0 +2≤0” 的否定是 ． 10．i是虚数单位，计算
D．3
5i= ． 2?i11．某程序框图（即算法流程图）如右图所示，其输出的结果是 ．
x2y212．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程是y?3x，它
ab个焦点在抛物线y?24x的准线上，则该双曲线的方程为 ． 13．从1，2，3，…，9，10这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函
2的一
数
f(x)?ax2?bx?c的系数，则满足
f(1)?N的方法有 种． 3（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（极坐标与参数方程选做题）曲线?y=x+2的交点坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图，在Rt△ABC中，∠C= 90o，E为
AB
?x?sin??y?sin?2（?为参数）与直
线
上一点，以BE为直径作圆O与AC相切于点D．若AB：BC=21, CD=3，则圆O的半径长为 ．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共80分） 16．（本小题满分12分）
rrrr已知向量a=（cos 2x，1），b=（1，sin 2x），x?R 函数f（x）=a·b．
（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）若f(?
a2?8)?32，求cos 2a的值． 5
17．（本小题满分12分）
某次数学考试中有三道选做题，分别为选做题1、2、3．规定每位考生必须且只须在其中选做一题。甲、乙、丙三名考生选做这一题中任意一题的可能性均为各学生的选择相互之间没有影响．
18．（本小题满分14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90o，BC=3, AC=6，D，E，F分别是AC，AB CB上的点，且DE∥BC，DE=2，CF=1，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使AC⊥CD,如图2．
（1）求证：A1C⊥平面BCDE
（2）若M是A1E的中点，求CM与平面A1BE所成角的正弦值； （3）试问线段A1C上是否存在点P，使平面FDP∥平面A1BE？请你说明理 （1）求这三个人选做的是同一道题的概率：
（2）设?为三个人中做选做题l的人数，求?的分布列与均值；
1，每位学生对每题的选择是相互独立的，3
19．（本小题满分14分）
没数列{an}满足an =2an－1+n（n≥2且n∈N*），{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn=an+n+2． （l）若a1=1，求S4．
（2）试判断数列{bn}是否为等比数列？请说明理由；
（3）若a1=-3，m，n，p∈N*，且m+n=2p．试比较
20．（本小题满分14分） 已知动点M与点F（
211?与的大小，并证明你的结论。 SmSnSp11，0）的距离和它到直线l：x=－的距离相等，记点M的轨迹为曲线C1。 22（1）求曲线C1的方程。
22 （2）设P(x0，y0)是曲线C1上的动点，点B、C在y轴上，PB，PC分别与圆(x?1)?y?1相切于
两点E，G。
（I）当y0 =4时，求|EG|；
(Ⅱ)当x0>2时，求△PBC面积的最小值。
21．（本小题满分14分） 若函数y=
f(x)在(m,??)上为增函数（m为常数），则称f(x)为区间(m,??)上的“一阶比增函数”。 x 已知函数f(x)是在(0,??)上每一点处可导的函数，且xf′（x）>f（x）在(0,??)上恒成立．
(1)求证：f (x)为区间(0,??)上的“一阶比增函数”； (2)当x1>0，x2 >0时，证明：f（x1）+f(x2)?f(x1?x2)； (3)已知不等式ln (l+x)
111n*ln2?ln4?L?ln(n?1)?(n?N). 23223(n?1)4(n?1)(n?2)
高考模拟数学试卷
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．复数z＝i8＋(－i)可化简为
A．1－i B．0 C．1＋i D．2
2．已知集合A＝{x｜x2－x≤0}，B＝{x｜a－1≤x＜a}，若A∩B只有一个元素，则a＝ A．0 B．1 C．2 D．1或2 3．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a＋b，则
171 181B．事件“m＞11”的概率为
18A．事件“m＝2”的概率为
C．事件“m＝2”与“m≠3”互为对立事件 D．事件“m是奇数”与“a＝b”互为互斥事件 4．点P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）
内任意一点，则
y的最小值为 x5A．—2 B．—
321C．— D．—
533?1??＜?＜）的图象经过原点，若f（－a）＝，则f（a＋）
22245．已知函数f（x）＝tan（?－x）（
＝
A．－3 B．－
11 C．3 D． 336．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何
体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，则该几 何体的体积为
A．8－2π B．8－π
C．8－
2π D．8＋2π 37．若log2(log3a)＝log3(log4b)＝log4(log2c)＝1，则a，b，
c的大小关系是
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
8．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世
界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三 人分一个，大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映 了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为 A．20 B．25 C．30 D．75
9．若函数f（x）＝－x2＋ax＋2lnx在（1，2）上有最大值，则a的取值范围为 A．（0，＋∞） B．（0，3） C．（3，＋∞） D．（1，3） 10．设k∈R，函数f（x）＝sin（kx＋
称轴方程为
?）＋k的图象为下面两个图中的一个，则函数f（x）的图象的对6k???＋（k∈） B．x＝kx＋（k∈） 263k??? C．x＝－（k∈） D．x＝kπ－（k∈）
263A．x＝
11．抛物线M：y＝4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PA⊥PF，则以
F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：5≈2．24）
23 C．2．4 B．2．2 D．21． A．2．12．在三棱锥D—ABC中，CD⊥底面ABC，AE∥CD，△ABC为正三角形，AB＝CD＝AE＝2，三棱锥
D—ABC与三棱锥E—ABC的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为
A．
162022π B．6π C．π D．π 333 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．
13．已知向量a，b满足｜b｜＝2｜a｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a－2b｜＝___________．
x2214．若双曲线－y＝1的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为____________．
m15．在△ABC中，sinA ：sinB ：sinC＝2 ：3 ：4，则△ABC中最大边所对角的余弦值为___________．
1x(x＋1)2＋ex－e－x1log616．已知函数f（x）＝()－，则f（）＋f（）＝________． log22212(x＋1)26三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考
生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）
已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a17＝33，S7＝49． （1）证明：a1，a5，a41成等比数列； （2）求数列{an·3n}的前n项和Tn．
18．（12分）
为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个
轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：
（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；
（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎
中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?
19．（12分）
如图，几何体ABC—A1DC1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而
得，AB＝4，AA1＝32，A1D＝1，AA1⊥平面ABC，M为 AB的中点，E为棱AA1上一点，且EM∥平面BC1D． （1）若N在棱BC上，且BN＝2NC，证明：EN∥平面BC1D； （2）过A作平面BCE的垂线，垂足为O，确定O的位置（说
明作法及理由），并求线段OE的长．
20．（12分）
x2y2＋＝1（m≠0）交于A，B两点． 已知直线l：y＝2x－2与椭圆Ω：
4m2m2 （1）求Ω的离心率；
（2）若以线段AB为直径的圆C经过坐标原点，求Ω的方程及圆C的标准方程．
21．（12分）
已知函数f（x）＝（x2－2x－2）ex．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
13x－4x＋a恒成立，求a的最大值； 356 （3）设F（x）＝xf（x）＋（2x－x2）ex，若F（x）在[t，t＋]的值域为[（66－18）e，0]，
2 （2）当x＞0时，f（x）≥
求t的取值范围．（提示：6≈2．4，e
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程3]（10分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的极坐标方程为ρ＝2cosθ（0≤θ≤
6≈11．6）
?）． 4 （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C； （2）若直线??x＝t（t为参数）与曲线C有公
?y＝t＋m共点，求m的取值范围．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f（x）＝｜x－3｜．
（1）求不等式f（x）＋f（2x）＜f（12）的解集；
（2）若x1＝3x3－x2，｜x3－2｜＞4，证明：f（x1）＋f（x2）＞12．
高考模拟数学试卷
数学（文）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合M?{?1,0,1,2}，N?{y|y?2x?1,x?M}，则集合MIN等于
（A）{?1,1}
（B）{1,2}
（C）{?1,1,3,5}
（D）{?1,0,1,2}
?x?y?3?（2）已知x，y满足约束条件?y?x，那么x?3y的最大值是
?x?1?（A）4 （B）6 （C）7 （D）8
3（3）下列函数中，与函数y?x的单调性和奇偶性相同的函数是
（A）y?x （B）y?lnx （C）y?tanx （D）y?ex?e?x
（4）阶乘(factorial)是基斯顿·卡曼于1808年发明的运算符号，n的阶乘n??1?2?3?????n.例如：
2?????，????????.执行如图所示的程序框图．则输出n?的值是
（A）2 （B）6 （C）24 （D）120
22（5）圆x?y?4被直线y??3x?b截得的劣弧所对的
开始 开始
输入n,k n=1, k=1 圆心角的大小为120?，则b的值
（A） ?2 （B）?23 （C）2 （D）3
（6）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多
k=k+1 n =n+1
k≤4 否 是
输出 ! n
结束
【附加15套高考模拟试卷】广西南宁市2020届高三第二次(4月)适应性测试数学(理)试卷含答案
