高考数学一轮复习课后限时集训25平面向量的基本定理及坐标表
示理（含解析）北师大版
课后限时集训(二十五) 平面向量的基本定理及坐标表示
(建议用时：40分钟) A组 基础达标
一、选择题
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( ) A．充要条件 C．必要不充分条件
A [由题意得a＋b＝(2,2＋m)， 由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2， 所以m＝－6.
当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．]
2．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( ) A．(－23，－12) C．(7,0)
B．(23,12) D．(－7,0) B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [∵3a－2b＋c＝0，∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)．故选A.]
3．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，2) C．(－∞，＋∞)
B．(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．]
D [由题意可知a与b不共线，即3m－2≠2m，∴m≠2.故选
4．(2018·东北三校二模)已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，若(a－b)∥(2a＋tb)，则t＝( )
A．0 C．－2
1B． 2D．－3
C [由题意得a－b＝(2，－1)，2a＋tb＝(2－t,2＋2t)．因为(a－b)∥(2a＋tb)，所以2×(2＋2t)＝(－1)×(2－t)，解得t＝－2，故选C.]
5.(2019·成都诊断)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，→
→→→→
OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则( )
21A．x＝，y＝
3313
C．x＝，y＝
44
12
B．x＝，y＝
3331
D．x＝，y＝
44
→→→→→→→2→→2→→2→1→
A [由题意知OP＝OB＋BP，且BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，
333321
所以x＝，y＝.]
33
6．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三→→→
等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝( )
1A．a－b
21
B．a－b 21C．a＋b
21
D．a＋b 2
→1→1
D [连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，
22→→→1
所以AD＝AC＋CD＝b＋a.]
2
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内的点，→→→π
且∠AOC＝，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝( )
4
A．22 C．2
B．2 D．42
→→→π
A [因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(2，2)，又因为OC＝λOA＋μOB，所以(2，2)
4＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.]
二、填空题
→→→→
8．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，→
则BC＝________.
→→→→→→
(－6,21) [AQ＝PQ－PA＝(－3,2)，因为Q是AC的中点，所以AC＝2AQ＝(－6,4)，PC＝→→→→→→
PA＋AC＝(－2,7)，因为BP＝2PC，所以BC＝3PC＝(－6,21)．]
→→→→→→
9．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.
→→→→1→→→→→
3 [由已知条件得MB＋MC＝－MA，M为△ABC的重心，∴AM＝(AB＋AC)，即AB＋AC＝3AM，
3则m＝3.]
→
10．如图，已知?ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且AK→→→
＝e1，AL＝e2，则BC＝________；CD＝________.(用e1，e2表示)．
→→→1→2442
－e1＋e2 －e1＋e2 [设BC＝x，CD＝y，则BK＝x，DL＝333321
－y. 2
→→→→→→由AB＋BK＝AK，AD＋DL＝AL， 1
－y＋x＝e ①??2得?1
x－??2y＝e ②
12
1224
①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，
2333→24
所以BC＝－e1＋e2.
332
同理可得y＝(－2e1＋e2)，
3→42
即CD＝－e1＋e2.]
33
B组 能力提升
1．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为( )
A．e1＋e2 B．－2e1＋e2 C．2e1－e2 D．2e1＋e2
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