20春国家开放大学离散数学网络课程形成性考核第4次形考任务答案资料参考答案

离散数学作业4

姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学图论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业．

要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：

1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2. 在线提交word文档

3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 ．

2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 { f }和{ e,c } ．

3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点 度数之和 等于边数的两倍．

4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 不存在奇数度的结点 ． 5．设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于 n ，则在G中存在一条汉密尔顿路．

6．若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为 W ≤|S| ．

7．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当 n为奇数 时，Kn中存在欧拉回路．

8．结点数v与边数e满足 e=v-1 关系的无向连通图就是树． 9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 4 条边后使之变成树．

10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．

答:不正确。因为图是否是连通的与结点的度数为奇数还是偶数无关。故图G 的结点度数均为偶数,并不能保证图G 一定连通。当图G 不连通时,图G 中就不存在欧拉回路。

2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．

在欧拉回路。

答:不正确。因为图G 虽然是连通的。但 b,c 两结点的度数都是奇数,所以图G 中不存

3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．

G

答:正确。因为结点a,b,d,f 的度数均为3度,故不是欧拉图。去掉边(a,d)、(b,c)、(c,f)后,该图就是一个回路,且只经过所有的结点一次,故是汉密尔顿图。

4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．

答:不正确。因为如果G 是平面图,由于37>=v ,则G 应满足欧拉公式的。推论63-≤v e ,因此15673=-?≤e 。与已知条件16=e 矛盾,故G 不是平面图。

5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．

答:正确。因为G 是连通平面图,故G 应满足欧拉公式2=+-r e v ,于是面数762112=-+=-+=v e r 。

三、计算题

1．设G=，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试

(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．

解: (1)如右图 V1 V5

V2 V3 V4 (2) 邻接矩阵如下：

?0?0??1??0??0

0100?0110??1011?

?1101?0110??(3) v 1的度数为1,v 2的度数为2,v 3的度数为4,v 4的度数为3,v 5的度数为2

(4)补图如下图：

2．图G=，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵； （3）求出G权最小的生成树及其权值．

解：（1）G的图形表示如图十四：

图十四 （2）邻接矩阵：

?01101??10011????10011? ??01101????11110??（3）粗线表示最小的生成树，如图十五

如图十五 最小的生成树的权为1+1+2+3=7：

3．已知带权图G如右图所示．

(1) 求图G的最小生成树； (2)计算该生成树的权值．

解：（1）图G有6个结点，其生成树有5条边，用Kruskal算法求其权最小的生成树T：

1. 取具最小权1的边： 2. 取剩余边具有最小权2的边：

3. 取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权3的边： 4. 取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权5的边； 5. 取剩余边中不与前4条边构成回路的具最小权7的边： 6. 所求最小生成树T如下图：

（2）该最小生成树的权为W（T）=1+2+3+5+7=18

4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．

解：最优二叉树如下图所示：

最优二叉树权值为：131

四、证明题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．

证明：设G=，G=,则E’是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的，所以对于任意结点u∈V，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数，由于n是大于等于3的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的(n-1(≥2)度)，于是若u∈V在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点，帮图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等。

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加使其成为欧拉图．

证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度

k条边才能2