课题： 二次函数最值问题专题复习
研学分析：
学生已学习了二次函数的图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为利用二次函数解决实际问题奠定了较好的知识基础。因此，抓住学生好奇、形式多样的教学方法和学生广泛的、积极主动参与的学习方式，定能激发学生兴趣，培养学生能力，促进个性发展，扎实完成教学任务。
1、通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想．
2、通过学习和探究“面积”“利润”问题，渗透转化及分类的数学思想方法．
3、通过研究生活中实际问题，反映实际问题中自变量取值产生限制，再通过数形结合找到最值，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题． 教学目标
1、会通过配方或公式求出二次函数y?ax?bx?c(a?0)的最大或最小值；
2、在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用， 会利用二次函数的图像性质求实际问题中的最大或最小值； 教学重点与难点
1、教学重点：实际问题中的二次函数最值问题，从实际问题建构二次函数模型。
2、教学难点：自变量有范围限制的最值问题,一次函数和二次函数综合应用的最值问题。
环节一【课前研学】
2b24ac?b2)?通过配方一般式y?ax?bx?c可写成y?a(x?， 2a4ab4ac?b2b,)为顶点的一条抛物线． 它的图象是以直线x??为对称轴，以(?2a4a2a4ac?b24ac?b2bb当a>0，x??，时，取最小值y?； 当a<0，x??，，取最大值y?
4a4a2a2a2
1、当x为何值时，下列函数有最大值或最小值。
22
(1)y＝－x－4x＋2 (2)y＝5x＋10
2、二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程 ax2＋bx=m有实数根．则m的最小值为 ( ) A．0
B．-3
C．3
D．1
3.（面积问题）如图，有长为30米得篱笆，利用一面墙，围成中间隔有一道篱笆（平行于BC）的 矩形花圃。设花圃的一边BC为x米，面积为y平方米。 （1）求y与x的函数关系式；
墙 （2）能否使所围矩形花圃的面积最大？如果能，
D 求出最大的面积；如果不能，请说明理由。
C A B
4. （销售问题）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场判定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件，每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
环节二【难点导学】
例1、 已知二次函数y=x2+2x-4，若1≤x≤5， 则当x 时，y有最大值是 ； 当x 时，y有最小值是 。（画出简图）
变式1: 若－4≤x≤1时，则y的最大值是 ，最小值是 。
变式2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元，为了扩大销售，
增加盈利，尽快减少库存，商场判定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元， 商场平均每天可多售出5件，每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？ （附加条件：如果降价的幅度不能高于15元，那么每天盈利的最大值为多少呢？）
变式3.（面积问题）如图，有长为30米得篱笆，利用一面墙， 墙 围成中间隔有一道篱笆（平行于BC）的 D C 矩形花圃。设花圃的一边BC为x米，面积为y平方米。 能否使所围矩形花圃的面积最大？
（附加条件：墙的长度不得多于12米，那么求花圃面积最大值？） A B
环节三、【合学互动】：
例2、已知一直角三角形两条直角边的和是6cm，设其中一直角边为x，面积为y，那么面积y与直角边x的函数关系式为 ， 则以这个直角三角形的面积的最大值是
变式1：已知一直角三角形两条直角边的和是6cm，则以这个直角三角形的斜边为边长的
正方形的面积的最小值是___ __
变式2：如图，点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上，边长为4
四边形EFGH也是正方形。当点AE为何值时，正方形EFGH的面积最小？
变式3、如图，二次函数y＝x2
＋2x－3的图象与x轴交于点A(－3，0)和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标：；
(2)当点P在线段AO(点P不与A，O重合) 上运动至何处时，线段OE的长有最大值， 求出这个最大值；
小结：1、如果顶点在自变量的取值范围内：xb4ac-b21?x?x2,则当x??2a时，y最值?4a
2、如果顶点不在自变量的取值范围内：则要考虑实际函数图像中自变量所对应函数的大小范围。
3、求长度、面积等最值应构建为二次函数求最值的方法。
环节四、【综合提高】、为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元。经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系，但种植面积不超过3200亩。随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系,且每亩收益不低于1800元。
（1）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩 蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式； （2）在政府未出台补贴措施前，
该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府
应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
环节四、【课后作业】： 1．把二次函数y=2x2－4x＋5化成y=a（x－h）2＋k的形式是 ，
其图象开口方向 ，顶点坐标是 ，当x＝ 时，函数y有最 值， 2．已知一个二次函数的顶点为（1，2），且有最大值，
请写出满足条件的一个二次函数的关系式 3．二次函数y=2x2＋x－n的最小值是2，那么n＝
4.x人去旅游共需支出y元，若x,y之间满足关系式y=2x - 20x + 1050,则当人数为_____ 时总支出最少。 5.已知一直角三角形两条直角边的和是8cm，则以这个直角三角形的斜边为边长的 正方形的面积的最小值是___ __
6．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%.经试销发现，销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系． (1)试确定y与x之间的函数关系式；
(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为Q元， 试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；当销售 单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ (3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元， 请确定销售单价x的取值范围．
7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点 （P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE．垂足为P，PE交CD于点E． (1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式， 当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ (3)连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．
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初中数学九年级《二次函数最值问题专题复习》公开课教学设计
