2003年量子力学试题解答
一、（30分）回答下列问题 1何谓微观粒子的波粒两象性？
解：微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经 典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子 的第一条属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的 第三条属性（具有干涉与衍射现象）。严格地说，电子就是电子，粒 子与波只是微观粒子的两种不同的属性。如果硬是要用经典的概念来 理解它的话，那么，它既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性， 是经典粒子与经典波动这一对矛盾的综合体 。
2、 波函数 r,t是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条 件？「r,t：的物理含义是什么？
解：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可 积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。 刻r附近d体积元中粒子出现的几率密度。
3、 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ 解：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处
F ，t；表示在t时
r
2
于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简 并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度 将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一 个负号，则称其为负宇称态。
4、 物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？
解：物理上可观测量对应线性厄米特算符。线性是状态叠加原理 要求的，厄米特算符的本征值是实数，可与观测值比较。
5、 坐标
X分量算符与动量X分量算符?的对易关系是什么？并写
x
出两者满足的测不准关系。
解：对易关系为'X，Px= i，测不准关系为yPx-? 6、厄米算符
]f?的本征值fn与本征矢in分别具有什么性质?
解：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
1、（ 20分）（见习题选讲6.1）设氢原子处于
1 1 1
「二―2只21「丫1厂，匕只彳\丫1厂，—2只21「丫1-厂，
的状态上，求其能量、角动量平方及角动量 率，进而求出它们的平均值。
解：选H , L,Lz为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为
2
Z分量的可能取值与相应 的取值几
J e 1
4
F^n
2
：
nlm L,」Rm
「丫忤叮
其中，量子数的取值范围是
n 二 1,2,3, I 二 0,1.2, ,n-1
m = 1,1 -1,1 - 2, ,-1 1,-1
利用归一化条件求出归一化常数为
氢原子的能量只与主量子数 n有关，以题意可知， 只有两个，即n =2,3，于是
l 4
W（E+
E2「-^, 2）= I- ^
8
-
E
—喧
1 4 1
W（
3
18 2,
E3>=4 5=5
e4
4
E =
8
角动量量子数I
的可能取值只有一个，即I = 1 L2
= 2 2
, WL^2 2
=1
己=2 2
角动量磁量子数
m的可能取值有两个，即m二
n的可能取值
1,0，于是
，故有
2003年哈尔滨工业大学量子力学试题
