专题13 计数原理
1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为 A.12 【答案】A
31【解析】由题意得x3的系数为C4?2C4?4?8?12,故选A.
B.16 C.20 D.24
【名师点睛】本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.
92.【2019年高考浙江卷理数】在二项式(2?x)的展开式中,常数项是__________;系数为有理数的项
的个数是__________. 【答案】162 5
r【解析】由题意,(2?x)9的通项为Tr?1?C9(2)9?rxr(r?0,1,2L9),当r?0时,可得常数项为0T1?C9(2)9?162;若展开式的系数为有理数,则r=1,3,5,7,9,有T2, T4, T6, T8, T10共5个项.故
答案为:162,5.
【名师点睛】此类问题解法比较明确,首要的是要准确记忆通项公式,特别是“幂指数”不能记混,其次,计算要细心,确保结果正确.
n2n*23.【2019年高考江苏卷理数】设(1?x)?a0?a1x?a2x?L?anx,n?4,n?N.已知a3?2a2a4.
(1)求n的值;
n(2)设(1?3)?a?b3,其中a,b?N*,求a2?3b2的值.
【答案】(1)n?5;(2)?32.
n0122nn【解析】(1)因为(1?x)?Cn?Cnx?Cnx?L?Cnx,n?4,
所以a2?Cn?n(n?1)n(n?1)(n?2),a3?C3?, n26n(n?1)(n?2)(n?3)a4?C4?. n2422因为a3?2a2a4,
所以[n(n?1)(n?2)2n(n?1)n(n?1)(n?2)(n?3)]?2??,
6224解得n?5.
(2)由(1)知,n?5.
(1?3)n?(1?3)5
022334455 ?C5?C153?C5(3)?C5(3)?C5(3)?C5(3)?a?b3.
解法一:
024135*因为a,b?N,所以a?C5?3C5?9C5?76,b?C5?3C5?9C5?44,
从而a2?3b2?762?3?442??32. 解法二:
022334455 (1?3)5?C5?C15(?3)?C5(?3)?C5(?3)?C5(?3)?C5(?3)022334455. ?C5?C13?C(3)?C(3)?C(3)?C(3)55555*因为a,b?N,所以(1?3)5?a?b3.
因此a2?3b2?(a?b3)(a?b3)?(1?3)5?(1?3)5?(?2)5??32.
【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.
1??4.【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试】已知二项式?2x??(n?N*)的展开式中第
x??2项与第3项的二项式系数之比是2︰5,则x3的系数为 A.14 【答案】C
r【解析】二项展开式的第r?1项的通项公式为Tr?1?Cn?2x?n?rnB.?14
C.240 D.?240
?1????,
x??12r由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5,可得:Cn:Cn?2:5.即解得n?6或n?0(舍去).所以T令6?2n2?,
n(n?1)5r?1?C2r66?r??1?rx36?r2,
3226?2r?3,解得r=2,所以x3的系数为C62??1??240.故选C. 2【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式,考查了方程思想及计算能力,还考查了分析能力,属于中档题.
5.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试(6月)】已知(1?)(2x?)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 A.?80 【答案】D
【解析】令x?1,得展开式的各项系数和为(1?)(2?)?1?a,
5ax1x5B.?40 C.40 D.80
a111?1?a?2,\\a=1,
1??1??1??1?1?1??a????1???2x????1???2x????2x????2x??,
x??x??x??x?x?x??x??1??所求展开式中常数项为?2x??的展开式的常数项与x项的系数和,
x??1??r5?rr1rr5?2rT?C(2x)?(?1)()?(?1)r25?rC5x, 展开式的通项为2x?r?15??xx??令5?2r?1得r=2;令5?2r?0,无整数解,
2∴展开式中常数项为8C5?80,故选D.
555555【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和,属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二
rn?rr项展开式的通项公式Tr?1?Cnab;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数
和和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用.
1??6.【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】?x??展开式的常数项为 3x??A.?56 【答案】D
48?r1r1??r8?rrr【解析】?x?展开式的通项公式为Tr?1?C8?x?(?3)?C8?(?1)?x3, ?3xx??8B.?28 C.56 D.28
8令8?46?(?1)6?28,故选D. r?0,得r?6,∴所求常数项为:C83【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题,属于基础题.
7.【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试】安排A,B,C,D,E,F,共6名义工照顾甲,乙,
计数原理(解析版)
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