数 学 G 单元 立体几何
G1 空间几何体的结构 20. 、 、 [2014·安徽卷 ] 如图 1-5,四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1中, A 1A ⊥底面 ABCD ,四边 形 ABCD 为梯形, AD ∥ BC ,且 AD =2BC . 过 A 1, C , D 三点的平面记为 α, BB 1与 α的交点 为 Q
.
图 1-5
(1证明:Q 为 BB 1的中点;
(2求此四棱柱被平面 α所分成上下两部分的体积之比;
(3若 AA 1=4, CD =2,梯形 ABCD 的面积为 6,求平面 α与底面 ABCD 所成二面角的 大小.
20. 解: (1证明:因为 BQ ∥ AA 1, BC ∥ AD , BC ∩ BQ =B , AD ∩ AA 1=A , 所以平面 QBC ∥平面 A 1AD ,
从而平面 A 1CD 与这两个平面的交线相互平行, 即 QC ∥ A 1D . 故△ QBC 与△ A 1AD 的对应边相互平行, 于是△ QBC ∽△ A 1AD , 所以 BQ BB 1BQ AA 1BC AD =12 ,即 Q 为 BB 1的中点.
(2如图 1所示,连接 QA , QD . 设 AA 1=h ,梯形 ABCD 的高为 d ,四棱柱被平面 α所分 成上下两部分的体积分别为 V 上 和 V 下 , BC =a ,则 AD =2a
.
图 1
V 三棱锥 Q -A 1AD =1312·2a ·h ·d =1 3 ,
V 四棱锥 Q -ABCD
=13a +2a 2d ·????12h =14, 所以 V 下 =V 三棱锥 Q -A 1AD +V 四棱锥 Q -ABCD =7
12. 又 V 四棱柱 A 1B 1C 1D 1 -ABCD =3 2 ,
所以 V 上 =V 四棱柱 A 1B 1C 1D 1 -ABCD -V 下 =32ahd 712=11
12ahd ,故 V 上 V 下 =117(3方法一:如图 1所示,在△ ADC 中,作 AE ⊥ DC ,垂足为 E ,连接 A 1E .
又 DE ⊥ AA 1,且 AA 1∩ AE =A , 所以 DE ⊥平面 AEA 1,所以 DE ⊥ A 1E .
所以∠ AEA 1为平面 α与底面 ABCD 所成二面角的平面角. 因为 BC ∥ AD , AD =2BC ,所以 S △ ADC =2S △ BCA . 又因为梯形 ABCD 的面积为 6, DC =2, 所以 S △ ADC =4, AE =4.
于是 tan ∠ AEA 1=AA AE =1,∠ AEA 1=π4. 故平面 α与底面 ABCD π 4
方法二:如图 2所示,以 D 为原点, DA , DD 1→ 分别为 x 轴和 z 轴正方向建立空间直角 坐标系. 设∠ CDA =θ, BC =a ,则 AD =2a . 因为 S 四边形 ABCD =a +2a 2
·2sin θ=6, 所以 a =2 sin θ
图 2
从而可得 C (2cos θ, 2sin θ, 0 , A 1????4sin θ0, 4, 所以 DC =(2cos θ, 2sin θ, 0 , DA 1→
=??? ?4sin θ0, 4.
设平面 A 1DC 的法向量 n =(x , y , 1 , 由 ???DA 1→ ·n =4sin θ x +4=0,
DC → ·n =2x cos θ+2y sin θ=0, 得 ?
????x =-sin θ, y =cos θ, 所以 n =(-sin θ, cos θ, 1 .
又因为平面 ABCD 的法向量 m =(0, 0, 1 , 所以 cos 〈 n , m n·m |n||m|22
故平面 α与底面 ABCD π 4
8. [2014·湖北卷 ] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是 我国现存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周, 令相乘也. 又 以高乘之, 三十六成一. ”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h , 计算其体积 V 的
近似公式 V ≈ 1 36
L 2h . 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π近似取为 3. 那么,近似公式 V ≈ 2 75
2h 相当于将圆锥体积公式中的 π近似取为 ( 227 258 C. 15750 D. 355113 8. B [解析 ] 设圆锥的底面圆半径为 r , 底面积为 S , 则 L =2πr , 136L 2h ≈ 1 3 ,
代入 S =πr 2化简得 π≈ 3;类比推理,若 V 2752h ,则 π25 8 故选 B.
7. 、 [2014·辽宁卷 ] 某几何体三视图如图 1-1所示,则该几何体的体积为 ( A . 8-2π B . 8-π C . 8π D . 8-π 4
2014年高考数学理科(高考真题 模拟新题)分类汇编：G单元.
