第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
y??f(x)x?D2.分段函数:
?1?g(x)x?D2
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1
(y)
y=f-1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),
则称f(x)在D内单调增加( )；
若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少( )；
若f(x1)＜f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加( )；
若f(x1)＞f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c为常数)
2.幂函数： y=xn
, (n为实数)
3.指数函数： y=ax
, (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、 主要内容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限:
limyn??n?A
称数列
或称数列
?yn??yn??yn?以常数A为极限;
收敛于A.
定理: 若的极限存在
??yn?必定有界.
2.函数的极限：
⑴当
x??时，f(x)的极限：
limf(x)?A?x?????limf(x)?Ax?? limf(x)?A?
x????⑵当
x?x0时，f(x)的极限：
limf(x)?A
x?x0 左极限：
x?x0lim?f(x)?A
limf(x)?A? 右极限：
x?x0⑶函数极限存的充要条件：
定理：
x?x0limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?Ax?x0x?x0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量：
limf(x)???f(x)为无穷大量。
x???,
称在该变化过程中
X再某个变化过程是指：
x???,无穷小量：
x??,x?x,x?x,x?x0
?0?02．
limf(x)?0f(x)为无穷小量。
称在该变化过程中3．
无穷大量与无穷小量的关系：
1limf(x)?0?lim???,(f(x)?0) 定理： f(x)4．
无穷小量的比较：
lim??0,lim??0
?lim?0 ⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量；
??lim?c ⑵若 （c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；
? ⑶若
?lim?1?，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；
⑷若
?lim???,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：
?1~?1，?2~?2；
则：
lim?1?2?lim?1?2
㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则：
设：
yn?xn?znn?? （n=1、2、3…）
limy?limz?ann 且：
n??limx?an 则：
n??2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有：
g(x)?f(x)?h(x) 且：
x?x0limg(x)?limh(x)?Ax?x0
limf(x)?A 则：
x?x0
㈣极限的运算规则
若：
limu(x)?A,limv(x)?B
则：①
lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B
②
lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B
u(x)limu(x)Alim??(limv(x)?0)③ v(x)limv(x)B 推论：①
lim[u1(x)?u2(x)???un(x)]
?limu1(x)?limu2(x)???limun(x)
②
lim[c?u(x)]?c?limu(x)
lim[u(x)]?[limu(x)]nn
③
㈤两个重要极限
sin?(x)sinxlim?1lim?1 1．x?0 或 ?(x)?0 ?(x)x1xlim(1?)?elim(1?x)?e 2．x?? x?0x§1.3 连续 一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性
1x1. 函数在
x0处连续：f(x)在x0的邻域内有定义，
?x?0 1o
?x?0lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0
2o
x?x0limf(x)?f(x0)
大学高等数学函数极限和连续
