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中考数学压轴题归类复习(十大类型附详细解答)

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龚恒雷

参考答案: 例1.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)根据x等于零时,可得C点坐标,根据y等于零时,可得A、B的坐标,根据待定系数法,可得直线BC的斜率,根据平行线的斜率相等,可得平行BC的直线的斜率,根据直线与抛物线有一个交点,可得直线与抛物线联立所得的一元二次方程有一对相等的实数根,可得判别式等于零;(2)根据待定系数法,可得直线AD的解析式,根据E点在线段AB上,可设出E点坐标,根据EF∥y轴,F在抛物线上,可得F点的坐标,根据两点间的距离,可得二次函数,根据二次函数性质,可得答案.

2

【解答】解:(1)当y=0时,x﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,即A(﹣1,0),B(3,0). 当x=0时,y=﹣3,即C(0,﹣3).设直线BC的解析式为y=kx+b,直线BC经过点B,点C,得:

,解得

,设平行于BC且与抛物线只有一个交点的直线解析式为

2

y=x+b,由题意,得:

2

,②﹣①,得:x﹣3x﹣3﹣b=0,只有一个交

点,得:△=(﹣3)﹣4×(﹣b﹣3)=0,解得b=﹣个交点的直线解析式y=x﹣

,与直线BC平行且与抛物线只有一

(2)y=x﹣2x﹣3,当x=﹣

2

=﹣=1时,y==

=﹣4,即D(1,﹣4),设直线AD的解析式是y=kx+b,AD的图象过点A、D,得,

解得,直线AD的解析式是y=﹣2x﹣2,线段AD上有一动点E,过E作平行于y

2

轴的直线交抛物线于F,设E点坐标是(x,﹣2x﹣2),F点坐标是(x,x﹣2x﹣3),﹣1≤x≤1,

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EF的长是:y=(﹣2x﹣2)﹣(x﹣2x﹣3)=﹣x+1。当x=0时,EF最大=1,即点E的坐标是(0,﹣2),当线段EF取得最大值时,点E的坐标是(0,﹣2).

【点评】本题考查了二次函数的综合题,利用了直线与抛物线相切,利用了一元二次方程的判别式,两点间的距离公式,二次函数的性质,综合性较强. 变式练习:【考点】二次函数综合题。【专题】压轴题.

2

【分析】(1)将A的坐标代入抛物线y=a(x﹣1)+3(a≠0)可得a的值,即可得到抛物线的解析式;(2)易得D的坐标,过D作DN⊥OB于N;进而可得DN、AN、AD的长,根据平行四边形,直角梯形,等腰梯形的性质,用t将其中的关系表示出来,并求解可得答案;(3)根据(2)的结论,易得△OCB是等边三角形,可得BQ、PE关于t的关系式,将四边形的面积用t表示出来,进而分析可得最小值及此时t的值,进而可求得PQ的长.(4)分别利用当△AOD∽△OQP与当△AOD∽△OPQ,得出对应边比值相等,进而求出即可.

2

【解答】解:(1)∵抛物线y=a(x﹣1)+3(a≠0)经过点A(﹣2,0),∴0=9a+3, ∴a=﹣

,∴y=﹣

(x﹣1)+3

2

),过D作DN⊥OB于N,则DN=3

(2))①∵D为抛物线的顶点,∴D(1,3AN=3,

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∴AD==6,∴∠DAO=60°.∵OM∥AD,

①当AD=OP时,四边形DAOP是平行四边形,∴OP=6,∴t=6. ②当DP⊥OM时,四边形DAOP是直角梯形,过O作OH⊥AD于H,AO=2,则AH=1(如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA(求AH=1)∴OP=DH=5,t=5, ③当PD=OA时,四边形DAOP是等腰梯形,易证:△AOH≌△CDP,∴AH=CP, ∴OP=AD﹣2AH=6﹣2=4,∴t=4.

综上所述:当t=6、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形; (3)∵D为抛物线的顶点坐标为:D(1,3),过D作DN⊥OB于N,则DN=3,AN=3,∴AD=

=6,∴∠DAO=60°,∴∠COB=60°,OC=OB,△OCB是等

边三角形.则OB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,∴OQ=6﹣2t(0<t<3) 过P作PE⊥OQ于E,则

,当

(4)当△AOD∽△OQP,则解得:t=故t=或

=

,∴SBCPQ=×6×3

﹣×(6﹣2t)×

=,

t,=

时,SBCPQ的面积最小值为

,∵AO=2,AD=6,QO=6﹣2t,OP=t,∴

=

,即=

,解得:t=,

,当△AOD∽△OPQ,则

时以O,P,Q为顶点的三角形与△OAD相似.

【点评】本题考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质、平行四边形、直角梯形、等腰梯形的判定等知识,将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题是考查重点.

苏州中考题:解:(1)如图①,点P从A→B→C→D,全程共移动了 a+2bcm(用含a、b的代数式表示);

(2)∵圆心O移动的距离为2(a﹣4)cm,由题意,得:a+2b=2(a﹣4)①, ∵点P移动2秒到达B,即点P2s移动了bcm,点P继续移动3s到达BC的中点,

即点P3秒移动了acm.∴= ② 由①②解得,

∵点P移动的速度为与⊙O移动速度相同,∴⊙O移动的速度为==4cm(cm/s).

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这5秒时间内⊙O移动的距离为5×4=20(cm); (3)存在这种情况,

设点P移动速度为v1cm/s,⊙O2移动的速度为v2cm/s,由题意,得

=

=

=,

如图:

设直线OO1与AB交于E点,与CD交于F点,⊙O1与AD相切于G点, 若PD与⊙O1相切,切点为H,则O1G=O1H. 易得△DO1G≌△DO1H,∴∠ADB=∠BDP.

∵BC∥AD,∴∠ADB=∠CBD,∴∠BDP=∠CBD,∴BP=DP.

设BP=xcm,则DP=xcm,PC=(20﹣x)cm,在Rt△PCD中,由勾股定理,得 PC+CD=PD,即(20﹣x)+10=x,解得x=∵EF∥AD,∴△BEO1∽△BAD,∴

=

2

2

2

2

2

2

此时点P移动的距离为10+

,,即

=

=(cm),

,EO1=16cm,OO1=14cm.

①当⊙O首次到达⊙O1的位置时,⊙O移动的距离为14cm,

此时点P与⊙O移动的速度比为=,∵

≠,∴此时PD与⊙O1不能相切;

②当⊙O在返回途中到达⊙O1位置时,⊙O移动的距离为2(20﹣4)﹣14=18cm,

∴此时点P与⊙O移动的速度比为=

=,此时PD与⊙O1恰好相切.

点评:本题考查了圆的综合题,(1)利用了有理数的加法,(2)利用了P与⊙O的路程相等,速度相等得出方程组是解题关键,再利用路程与时间的关系,得出速度,最后利用速度乘以时间得出结果;(3)利用了相等时间内速度的比等于路程的比,相似三角形的性质,等腰三角形的判定,勾股定理,利用相等时间内速度的比等于路程的比是解题关键. 例2. 【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题;动点型.

2

【分析】(1)设抛物线解析式为y=ax+bx,把已知坐标代入求出抛物线的解析式. (2)求出S的面积,根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式.

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(3)根据旋转的性质,代入解析式,判断是否存在.

【解答】解:(1)方法一:由图象可知:抛物线经过原点,设抛物线解析式为y=ax+bx(a≠0). 把A(1,1),B(3,1)代入上式得:

2

2

,解得.∴所求抛物线解析式为y=﹣x+x.

方法二:∵A(1,1),B(3,1),∴抛物线的对称轴是直线x=2.

2

设抛物线解析式为y=a(x﹣2)+h(a≠0)把O(0,0),A(1,1)代入

2

得,解得,∴所求抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)+.

(2)分三种情况:

①当0<t≤2,重叠部分的面积是S△OPQ,过点A作AF⊥x轴于点F,∵A(1,1),

∴在Rt△OAF中,AF=OF=1,∠AOF=45°,在Rt△OPQ中,OP=t,∠OPQ=∠QOP=45°, ∴PQ=OQ=tcos 45°=

t.S=

t,

2

②当2<t≤3,设PQ交AB于点G,作GH⊥x轴于点H,∠OPQ=∠QOP=45°, 则四边形OAGP是等腰梯形,重叠部分的面积是S梯形OAGP.∴AG=FH=t﹣2, ∴S=(AG+OP)AF=(t+t﹣2)×1=t﹣1.

③当3<t<4,设PQ与AB交于点M,交BC于点N,重叠部分的面积是S五边形OAMNC. △PNC和△BMN都是等腰直角三角形,重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN. ∵B(3,1),OP=t,∴PC=CN=t﹣3,∴S=(2+3)×1﹣(4﹣t),S=﹣t+4t﹣(3)存在.

当O点在抛物线上时,将O(t,t)代入抛物线解析式,解得t=0(舍去),t=1;

当Q点在抛物线上时,Q(t,t)代入抛物线解析式得t=0(舍去),t=2.故t=1或2.

2

2

【点评】本题是一道典型的综合题,重点考查了二次函数的有关知识以及考生理解图形的能力,难度较大.

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变式练习:解:(1)∵直线l:y=x+m经过点B(0,﹣1),∴m=﹣1,∴直线l的解析式为y=x﹣1,∵直线l:y=x﹣1经过点C(4,n),∴n=×4﹣1=2,∵抛物线y=x+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,﹣1), ∴

,解得

,∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣1;

2

2

(2)令y=0,则x﹣1=0,解得x=,∴点A的坐标为(,0),∴OA=,在Rt△OAB

中,OB=1,∴AB===,∵DE∥y轴,∴∠ABO=∠DEF,在

矩形DFEG中,EF=DE?cos∠DEF=DE?∴p=2(DF+EF)=2(+)DE=

=DE,DF=DE?sin∠DEF=DE?=DE,

DE,

2

∵点D的横坐标为t(0<t<4),∴D(t,t﹣t﹣1),E(t,t﹣1), ∴DE=(t﹣1)﹣(t﹣t﹣1)=﹣t+2t,∴p=∵p=﹣(t﹣2)+

2

2

2

×(﹣t+2t)=﹣t+

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t,

,且﹣<0,∴当t=2时,p有最大值

(3)∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°,∴A1O1∥y轴时,B1O1∥x轴,设点A1的横坐标为x,

①如图1,点O1、B1在抛物线上时,点O1的横坐标为x,点B1的横坐标为x+1, ∴x﹣x﹣1=(x+1)﹣(x+1)﹣1,解得x=,

②如图2,点A1、B1在抛物线上时,点B1的横坐标为x+1,点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大,

∴x﹣x﹣1=(x+1)﹣(x+1)﹣1+,解得x=﹣综上所述,点A1的横坐标为或﹣

2

2

2

2

苏州中考题:(略)

例3. 【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.

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中考数学压轴题归类复习(十大类型附详细解答)

优格教育龚恒雷参考答案:例1.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)根据x等于零时,可得C点坐标,根据y等于零时,可得A、B的坐标,根据待定系数法,可得直线BC的斜率,根据平行线的斜率相等,可得平行BC的直线的斜率,根据直线与抛物线有一个交点,可得直线与抛物线联立所得的一元二次方程有一对相等的实数根,可得判别式等于零;(2)根据待定系数法,可得
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