优格教育
龚恒雷
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形翻折变换、三角形相似等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 变式练习：【考点】二次函数综合题；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离；三角形的面积；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．
2
【分析】（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可证△AOC∽△COB，由相似比得OC=OA?OB，设OA的长为x，则OB=5﹣x，代入可求OA，OB的长，确定A，B，C三点坐标，求抛物线解析式；（2）根据△BDE为等腰三角形，分为DE=EB，EB=BD，DE=BD三种情况，分别求E点坐标；（3）作辅助线，将求△CDP的面积问题转化．方法一：如图1，连接OP，根据S△CDP=S四边形CODP﹣S△COD=S△COP+S△ODP﹣S△COD，表示△CDP的面积；方法二：过点P作PE⊥x轴于点F，则S△CDP=S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP，表示△CDP的面积；再利用二次函数的性质求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标． 【解答】解：（1）设OA的长为x，则OB=5﹣x；∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；∴△AOC∽△COB，∴OC=OA?OB 2
∴2=x（5﹣x）解得：x1=1，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4； ∴点A、B、C的坐标分别是：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（用射影定理的不扣分）
2
方法一：设经过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax+bx+2， 将A、B、C三点的坐标代入得
，
所以这个二次函数的表达式为：
。
方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+1）（x﹣4）将C点的坐标代入得：a=
所以这个二次函数的表达式为：
，
种都不扣分）
（2）①当△BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：
（表达式用三种形式中的任一。
解得：a=
，b=，c=2
2
，，
．（注：符合条件的E点共有三个，其坐标，写对一个给1分）
②如图1，连接OP，S△CDP=S四边形CODP﹣S△COD=S△COP+S△ODP﹣S△COD =
=m+n﹣2=
=
），S△CDP的最大值是
．
∴当m=时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（，
另解：如图2、图3，过点P作PF⊥x轴于点F，则S△CDP=S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP ==
=
=m+n﹣2
…（9分）
），S△CDP的最大值是
∴当m=时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（，．
（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标，或最大面积计算错
误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分．）
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【点评】本题考查二次函数的综合运用．关键是根据直角三角形中斜边上的高分得的两个三角形相似，利用相似比求A、B两点坐标，确定抛物线解析式，根据等腰三角形的性质求E点坐标，利用作辅助线的方法表示△CDP的面积，由二次函数的性质求三角形面积的最大值．
311＋c，－2c；(2)y＝x2－x－2．(3)①0 222例5. 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）设抛物线解析式，因点B在抛物线上面，代入求出抛物线解析式；（2）△ABC沿AC折叠，要用到点的对称，得到B′的坐标然后验证是否在抛物线上；（3）假设存在，设直线BA的解析式，根据B、A坐标解出直线BA的解析式，用m表示出P点坐标，因为PF=AD可以得到P点坐标． 苏州中考题：(1) 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+∴把B（（2）∵点B（又CA=矩形．∵CB'=y=， ∴B'（1， ， ）代入y=ax+， 2 2 ，∵B（，）在抛物线上， x+ 2 得a=， ．∴抛物线解析式为y=． ），C（1，0），∴CB==2，∴AB= ，∴CB'=CB=OA． =1，∴AB'=AB=OC．∴四边形AOCB'是）．∵当x=1时，代入y= x+ 2 ，OC=1，∴B'点的坐标为（1，得 ）在抛物线上． ∴ 2 （3）存在．理由是：设BA的解析式为y=kx+b，∴ ∵P，F分别在直线BA和抛物线上，且PF∥AD，∴设P（m， ） PF=（（ m+ m+ ）﹣（ 2 m+），F（m，m+ m+m+ ）= 2 ），AD=﹣= 如果PF=AD，则有： 。 ）﹣（ ， 解得m1=0（不符合题意舍去），m2=． m+ = ， ∴当m=时，PF=AD，存在四边形ADFP是平行四边形．当m=时，∴P点的坐标是（， ）． 47 优格教育 龚恒雷 【点评】考查待定系数求抛物线解析式，折叠图形的对称问题，辅助线的作法也很独特，考查的知识点很全面，是一道综合性题型． 变式练习：【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形．【专题】几何综合题；数形结合；方程思想． 【分析】（1）由AB是直径，可得∠APB=90°，然后利用三角函数即可求得PA的长；当PA=PB时，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4﹣a，利用矩形面积关系与二次函数的知识即可求得答案． 【解答】解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，∵AB是直径，∴∠APB=90°， 则在Rt△PAB中，PA=cos30°AB=2，∴当PA的长度等于2时，∠PAD=60°； 若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，此时P位于四边形ABCD的中心， 过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，则四边形EAMP是正方形， ∴PM=PE=AB=2，∵PM=AM?BM=4，∵AM+BM=4，∴AM=2，∴PA=2 2 ， 当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P． 连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，则△ADO≌△PDO， ∴DO⊥AP，AG=PG，∴AP=2AG，又∵DA=2AO，∠ADG=∠GAO， ∴ = =，∴AG=2OG，设AG为2x，OG为x，∴（2x）+x=4，∴x= ，∴AP= ∴当PA的长度等于2 或 2 2 ∴AG=2x=时，△PAD是等腰三角形； . （2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC， ∵P点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，在△PAD，△PAB及△PBC中， 22 S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴PE=AE?BE，即b=a（4﹣a）， 2222 ∴2S1S3﹣S2=4a（8﹣2a）﹣4b=﹣4a+16a=﹣4（a﹣2）+16， 2 ∴当a=2时，b=2，2S1S3﹣S2有最大值16． 【点评】此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用． 48 优格教育 龚恒雷 苏州中考题：【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出OC，从而求出a．（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形． （3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案． 【解答】解：（1）令y=0，由a（x﹣6x+8）=0，解得x1=2，x2=4；令x=0，解得y=8a， ∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），该抛物线对称轴为直线x=3， ∴OA=2，如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1，由题意得：O′A=OA=2， ∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°，∴∠OAC=∠O′AC=60°，∴OC=2 ，即8a=2 ，∴a= ； 2 （2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立， ①如图②，设P是边EF上的任意一点，连接PM， ∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，∴PB＜4，PC≥4， ∴PC＞PB，又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD， ∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形， ②设P是边FG上的任意一点（不与点G重合）， ∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），∴FB=3，GB=，∴3≤PB， ∵PC≥4，∴PC＞PB，又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD， ∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形； （3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形， 如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，∴PA=PB， ∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形， ∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，﹣a），点P的坐标是（3，t）， ∴PC=3+（t﹣8a），PD=（t+a），由PC=PD得PC=PD，∴3+（t﹣8a）=（t+a）， 整理得：7a﹣2ta+1=0有两个不相等的实数根，∴a= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =， ∴a=或a=，∵t＞3，∴显然a=或a=， 满足题意，∴当t是一个大于3的常数时，存在两个正数a=使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形． 或a=， 【点评】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键． 49 优格教育 龚恒雷 例6. 【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小． 2 【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=2，∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）+k． 将A（﹣1，0），C（0，5）代入得： ，解得 ，∴y=﹣（x﹣2）+9=﹣x+4x+5． 2 2 2 （2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．设P（x，﹣x+4x+5）， 22 如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x+4x+5，∴MN=ON﹣OM=﹣x+4x+4． S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE =（x+2）（﹣x+4x+5）﹣x?（﹣x+4x+4）﹣×1×1=﹣x+x+=﹣（x﹣）+∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为此时点P坐标为（， ）． ，把x=时，y=﹣（﹣2）+9= 2 2 2 2 2 ． （3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3． 2 令y=﹣x+4x+5=3，解得x=2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）． 四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）； 作点M1关于x轴的对称点M2，则M（﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM221， 最小．设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得： ，解得：m= ，n=﹣ ，∴y= x﹣ ． 当y=0时，解得x=∴a= ．∴F（，0）．∵a+1=，∴a=． 时，四边形PMEF周长最小． 50
中考数学压轴题归类复习（十大类型附详细解答）
