π5π??2kπ?,2kπ?(k?Z).（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. ??44??【解析】（Ⅰ）由已知，有f'(x)?e(cosx?sinx)．因此，当x??2k??x???5??,2k???(k?Z)时，44?有sinx?cosx，得f'(x)?0，则f?x?单调递减；当x??2k????3???,2k???(k?Z)时，有44?sinx?cosx，得f'(x)?0，则f?x?单调递增．
所以，f?x?的单调递增区间为?2k????3???,2k???(k?Z),f(x)的单调递减区间为44??5???2k??,2k??(k?Z)． ??44??（Ⅱ）证明：记h(x)?f(x)?g(x)?????x?．依题意及（Ⅰ），有g(x)?ex(cosx?sinx)，从而?2?????g'(x)??2exsinx．当x??,?时，g'(x)?0，故
?42???????h'(x)?f'(x)?g'(x)??x??g(x)(?1)?g'(x)??x??0．
?2??2?因此，h?x?在区间?,?上单调递减，进而h(x)?h???f???0．
?2??2??42?所以，当x??,?时，f(x)?g(x)??x??0．
242（Ⅲ）证明：依题意，u?xn??f?xn??1?0，即encosxn?1．记yn?xn?2n?，则yn??x?????????????????????????,?，?42?且f?yn??encosyn?eyxn?2n?cos?xn?2n???e?2n??n?N?．
??????由f?yn??e?2n??1?f?y0?及（Ⅰ），得yn?y0．由（Ⅱ）知，当x??,?时，g'(x)?0，所42g?y?0?????g??0．又由（Ⅱ）知，?4?以g?x?在?,?上为减函数，因此g?yn??42?????????f?yn??g?yn???yn??0，故
?2?f?yn??e?2n?e?2n?e?2n?e?2n?． ?yn??????y0?2g?yn?g?yn?g?y0?e?siny0?cosy0?sinx0?cosx0?e?2n?所以，2n???xn?．
2sinx0?cosx0【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力． 13．【2019年高考浙江】已知实数a?0，设函数f(x)=alnx?（1）当a??x?1,x?0.
3时，求函数f(x)的单调区间； 4x1f(x)?, 求a的取值范围． 均有,??)22ae（2）对任意x?[注：e=2.71828…为自然对数的底数．
?2?【答案】（1）f?x?的单调递增区间是?3,???,单调递减区间是?0,3?；（2）??0,4?.
??【解析】（1）当a??33时，f(x)??lnx?1?x,x?0． 44f'(x)??31(1?x?2)(21?x?1)， ??4x21?x4x1?x所以，函数f(x)的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+?）．
（2）由f(1)?21，得0?a?．
42a当0?a?令t?2xx21?x?2lnx?0． 时，f(x)?等价于2?42aaa1，则t?22． a2设g(t)?t则g(t)?x?2t1?x?2lnx,t?22，
11?xx(t?1?)2??2lnx．
xx（i）当x??,??? 时，1??1?7??1?22，则 xg(t)?g(22)?8x?421?x?2lnx．
记p(x)?4x?221?x?lnx,x?1，则 7p'(x)?2212xx?1?2x?x?1???xx?1xxx?1
?(x?1)[1?x(2x?2?1)].
xx?1(x?1)(x?1?2x)故
x 1 7 1(,1) 71 (1,??) p'(x) ? 0 + p(x) 所以，p(x)?p(1)?0．
1p() 7单调递减 极小值p(1) 单调递增 因此，g(t)?g(22)?2p(x)?0．
?1??2xlnx?(x?1)?11?（ii）当x??2,?时，g(t)…． g?1?????e7x2x????令q(x)?2xlnx?(x?1),x??lnx?2?11?q'(x)??1?0， , ，则2?x?e7??1?q??． ?7?故q(x)在??11?,?上单调递增，所以q(x)?2e7??由（i）得，q????所以，q(x)<0．
?1??7?27?1?27p????p(1)?0． 77?7??1?q(x)因此g(t)…g?1????0． ???x2x??由（i）（ii）知对任意x???1?0， ,???，t?[22,??),g(t)…2e??即对任意x??x?1?f(x)?，均有． ,???22ae??综上所述，所求a的取值范围是?0,???2??． 4?【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
14．【2019年高考江苏】设函数f(x)?(x?a)(x?b)(x?c),a,b,c?R、f'(x)为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'(x)的零点均在集合{?3,1,3}中，求f（x）的极小值；
（3）若a?0,0?b?1,c?1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤【答案】（1）a?2；（2）见解析；（3）见解析.
4． 27【解析】（1）因为a?b?c，所以f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)?(x?a)． 因为f(4)?8，所以(4?a)?8，解得a?2． （2）因为b?c，
所以f(x)?(x?a)(x?b)?x?(a?2b)x?b(2a?b)x?ab， 从而f'(x)?3(x?b)?x?因为a,b,232233??2a?b?2a?b．令，得或． f'(x)?0x?bx??3?32a?b都在集合{?3,1,3}中，且a?b， 32a?b所以?1,a?3,b??3．
3此时f(x)?(x?3)(x?3)，f'(x)?3(x?3)(x?1)． 令f'(x)?0，得x??3或x?1．列表如下：
2x f'(x) f(x) (??,?3) + ?3 0 极大值 2(?3,1) – 1 0 极小值 (1,??) + 所以f(x)的极小值为f(1)?(1?3)(1?3)??32．
（3）因为a?0,c?1，所以f(x)?x(x?b)(x?1)?x?(b?1)x?bx，
32f'(x)?3x2?2(b?1)x?b．
因为0?b?1，所以??4(b?1)?12b?(2b?1)?3?0， 则f'(x)有2个不同的零点，设为x1,x2?x1?x2?．
22b?1?b2?b?1b?1?b2?b?1,x2?由f'(x)?0，得x1?．
33列表如下：
x f'(x) (??,x1) + x1 0 极大值 ?x1,x2? – x2 0 极小值 (x2,??) + f(x) 所以f(x)的极大值M?f?x1?． 解法一：
M?f?x1??x13?(b?1)x12?bx1
22b?b?1??xb?1b(b?1)??21?[3x1?2(b?1)x1?b]???x? 1?3999????2?b2?b?1?(b?1)27b(b?1)2??927?b?b?12?
3b(b?1)2(b?1)2(b?1)2???(b(b?1)?1)3
272727?b(b?1)244．因此M?． ??27272727解法二：
2019年高考真题理科数学分类汇编专题3 导数及其应用 (解析版)
