专题3 导数及其应用
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线y?aex?xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A．a?e，b??1 C．a?e?1，b?1 【答案】D
【解析】∵y??ae?lnx?1,
∴切线的斜率k?y?|x?1?ae?1?2，?a?e?1， 将(1,1)代入y?2x?b，得2?b?1,b??1. 故选D．
【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.
x
B．a=e，b=1 D．a?e?1，b??1
?x2?2ax?2a,x?1,2．【2019年高考天津理数】已知a?R，设函数f(x)??若关于x的不等式f(x)?0x?1.?x?alnx,在R上恒成立，则a的取值范围为 A．0,1 C．0,e 【答案】C
【解析】当x?1时，f(1)?1?2a?2a?1?0恒成立；
??
B．0,2 D．1,e
??????x2当x?1时，f(x)?x?2ax?2a?0?2a?恒成立，
x?12x2令g(x)?，
x?1x2(1?x?1)2(1?x)2?2(1?x)?1则g(x)?? ????1?x1?x1?x??11?????1?x??2????2(1?x)??2??0，
??1?x1?x????当1?x?1，即x?0时取等号， 1?x∴2a?g(x)max?0，则a?0.
当x?1时，f(x)?x?alnx?0，即a?令h(x)?x恒成立， lnxlnx?1x，则h?(x)?2，
(lnx)lnx当x?e时，h?(x)?0，函数h(x)单调递增， 当0?x?e时，h?(x)?0，函数h(x)单调递减， 则x?e时，h(x)取得最小值h(e)?e， ∴a?h(x)min?e，
综上可知，a的取值范围是[0,e]. 故选C.
【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.
?x,x?0?3．（2019浙江）已知a,b?R，函数f(x)??131．若函数y?f(x)?ax?b恰有2x?(a?1)x?ax,x?0?2?33个零点，则 A．a<–1，b<0 C．a>–1，b<0 【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x ， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3 （a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3 （a+1）x2﹣b，
B．a<–1，b>0 D．a>–1，b>0
y??x2?(a?1)x，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点?函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：
＞
∴ ＜0且 ，
＜
解得b＜0，1﹣a＞0，b＞ （a+1）3，
则a>–1，b<0. 故选C．
【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3 （a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．
4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线y?3(x?x)e在点(0，0)处的切线方程为____________． 【答案】3x?y?0
【解析】y??3(2x?1)e?3(x?x)e?3(x?3x?1)e, 所以切线的斜率k?y?|x?0?3，
则曲线y?3(x?x)e在点(0,0)处的切线方程为y?3x，即3x?y?0．
【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
2xx2x2x2x
5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y?x?线x?y?0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由y?x?4(x?0)上的一个动点，则点P到直x44(x?0)，得y??1?2， xx44(x?0)切于(x0,x0?)，
x0x设斜率为?1的直线与曲线y?x?由1?4??1得x0?2（x0??2舍去）， 2x0∴曲线y?x?故答案为4．
4(x?0)上，点P(2,32)到直线x?y?0的距离最小，最小值为x2?321?122?4.
【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过
点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)
【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点A?x0,y0?，则y0?lnx0. 又y??1， x1， x01(x?x0)， x0当x?x0时，y??则曲线y?lnx在点A处的切线为y?y0?即y?lnx0?x?1， x0?e?1， x0将点??e,?1?代入，得?1?lnx0?即x0lnx0?e，
考察函数H?x??xlnx，
当x??0,1?时，H?x??0，当x??1,???时，H?x??0， 且H??x??lnx?1，
当x?1时，H??x??0,H?x?单调递增， 注意到H?e??e，
故x0lnx0?e存在唯一的实数根x0?e， 此时y0?1， 故点A的坐标为?e,1?.
【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
7．【2019年高考北京理数】设函数f?x??e?ae（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；
x?x若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】?1???,0?
【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用f?(x)?0可得a的取值范围.
若函数f?x??e?ae为奇函数，则f??x???f?x?,即ex?x?x?aex???ex?ae?x?，
即?a?1?e? ex??x??0对任意的x恒成立，
?x则a?1?0，得a??1.
x?x若函数f?x??e?ae是R上的增函数，则f?(x)? e?ae?0在R上恒成立，
x即a?e2x在R上恒成立， 又e2x?0，则a?0，
2019年高考真题理科数学分类汇编专题3 导数及其应用 (解析版)
