2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．） （1）若x→0时，(1?ax)?1.与xsinx是等价无穷小，则a＝______．
（2）设函数y＝f（x）由方程xy＋2lnx＝y4所确定，则曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线方程是______． （3）y＝2x的麦克劳林公式中xn项的系数是______． （4）设曲线的极坐标方程为?＝ea?（a＞0），则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积为______．
124?1?11???T（5）设?为3维列向量，?T是?的转置．若αα??11?1，则? T?＝______．
????1?11???101???（6）设三阶方阵A，B满足A2B－A－B＝E，其中E为三阶单位矩阵，若A?020，?????201??则｜B｜＝______．
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （1）设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??，则必有（ ）
n??n??n??（A）an＜bn对任意n成立． （C）极限limn??（B）bn＜cn对任意n成立． （D）极限limbncn不存在．
n??ancn不存在．
3nnn?11?xndx，则极限limnan等于（ ） （2）设an???1xn??20（A）(1?e)?1. （C）(1?e)?1. （3）已知y3?1232
（B）(1?e)?1. （D）(1?e)?1.
323?12
?xxyx是微分方程y????()的解，则φ()的表达式为（ ）
xyylnxy2
（A）?2.
xy2（B）2.
xx2（C）?2.
yx2（D）2.
y（4）设函数f（x）在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图所示，则f（x）有（ ）
（A）一个极小值点和两个极大值点． （B）两个极小值点和一个极大值点． （C）两个极小值点和两个极大值点． （D）三个极小值点和一个极大值点． （5）设I1??π40πtanxxdx，I2??4dx，则（ ）
0tanxx（A）I1＞I2＞1． （B）1＞I1＞I2． （C）I2＞I1＞1． （D）1＞I2＞I1．
（6）设向量组Ⅰ：?1，?2，…，?r可由向量组Ⅱ：?1，?2，…，?s线性表示，则（ ） （A）当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关． （B）当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关． （C）当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关． （D）当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关． 三、（本题满分10分）
??ln(1?ax3),x?0,??x?arcsinx设函数f(x)??6,x?0,?eax?x2?ax?1,x?0,?x?xsin4?问a为何值时，f（x）在x＝0处连续；a
为何值时，x＝0是f（x）的可去间断点？
四、（本题满分9分）
?x?1?2t2,2dy?u|? 设函数y＝y（x）由参数方程?（t＞1）所确定，求1?2lnte2x?9dxdu?y??1u?五、（本题满分9分）
xearctanxdx. 计算不定积分?23/2(1?x)六、（本题满分12分）
设函数y＝y（x）在（－∞，＋∞）内具有二阶导数，且y′≠0，x＝x（y）是y＝y（x）的反函数．
d2xdx3（1）试将x＝x（y）所满足的微分方程2?(y?sinx)()?0变换为y＝y（x）满足的
dydy微分方程；
（2）求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?3的解． 2七、（本题满分12分）
讨论曲线y＝4lnx＋k与y＝4x＋ln4x的交点个数． 八、（本题满分12分）
设位于第一象限的曲线y＝f（x）过点(21,)，其上任一点P（x，y）处的法线与y22轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分． （1）求曲线y＝f（x）的方程；
（2）已知曲线y＝sinx在[0，?]上的弧长为l，试用l表示曲线y＝f（x）的弧长s．
九、（本题满分10分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x＝?（y）（y≥0）绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以?m2/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）．
（1）根据t时刻液面的面积，写出t与?（y）之间的关系式； （2）求曲线x＝?（y）的方程．
（注：m表示长度单位米，min表示时间单位分．） 十、（本题满分10分）
设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f′（x）＞0．若极限lim?x?af(2x?a)存在，证明：
x?ab2?a22?f(?)（1）在（a，b）内f（x）＞0； （2）在（a，b）内存在点ξ，使
?baf(x)dx?;
（3）在（a，b）内存在与（2）中ξ相异的点?，使f?(?)(b?a)?十一、（本题满分10分）
222?bf(x)dx.
??a?a?220???若矩阵A?82a相似于对角矩阵Λ，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使 ????006??
20003年全国硕士研究生入学统一考试数学3真题二答案
