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即当0?BP?11时，截面为四边形；当?BP?1时，截面为五边形． 22?1??1?因此BP的取值范围为?,1?．故填?,1?．
?2??2?8．已知数列?an?的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列，且对任意n?N*，都有an?an?1． 若a1?1，a2?2，且数列?an?的前10项和S10?75，则a8? ．
解析 分析知S10?5?a1?a2??10?d1?d2??75，即d1?d2?6， 从此点无法解决根本，按照题目的设想，可求出d1,d2． 首先，可以得到该数列的奇偶项表达式（分段通项）， 设n?N*，则a2n?1?1??n?1?d1，a2n?2??n?1?d2， 其次，因为对任意n?N*，都有an?an?1，
即只需满足a2n?1?a2n?a2n?1（或a2n?a2n?1?a2n?2）， 因此1??n?1?d1?2??n?1?d2?1??n?1?d1对n?N*恒成立， 分析左边，若需?n?1??d1?d2??1，则必须满足d1?d2?0?；
分析右边，若需?n?1?d1??n?1?d2?1，即n?d1?d2??1?d1?d2??5，
0?． 则必须满足d1?d2…因此分析得d1?d2．
最后，d1?d2?3，a8?a2?3d2?11．故填11．
评注 ?若不然，若d1?d2?0，则令?n?1??d1?d2??1，解得n?1?1， d1?d2?1?若令n0???1??1，则有?n0?1??d1?d2??1与题意矛盾．
?d1?d2??的理由同?类似．
0对x?R恒成立，求实数a的取值范围．”事实上，在解决问题“不等式ax2?ax?1…的时候，就没将问题讲清楚，而是直接根据主观论断，否定a?0的情形，本质上否定
2?x0?1?0，这跟函数的零点以及单调性有关． 就是寻找一个x0，使得ax00恒成立，符合题意； ①当a?0时，1…收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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?a?0②当a?0时，只许满足?，从而0?a?4； 2???a?4a?0③当a?0时，易知??a2?4a?0，
?a?a2?4a?a?a2?4a易知方程ax?ax?1?0的两根为x1?，x2?，
2a2a21?1?又f?x??ax2?ax?1对称轴x??，所以在???,??上单调递增，
2?2?又x1??1?x2，f?x1??0，所以?x0?x1， 22使f?x0??ax0?x0?1?f?x1??0，与题意矛盾．
综上所述：实数a的取值范围是?0,4?．
这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点（变号零点）个数的思想是一致的．
?x?2?9．已知正实数x,y满足
y2?y?2??x2?16，则x?y? ．
分析 x,y若不是以整体x?y的形式求出，则必定分别求出，这类问题涉及到对代数式变形．
解析 解法一：将题设条件式通分并整理，得x?x?2??y?y?2??16xy?0， 整理得x?x?2??y?y?2??8?x?y??0，因此x?y?2，所以x?y?4．故填
222224．
解法二：因为为x,y正实数，所以
x?2??16?y2y?2???x2xy8x8y…8?2??16， …?yxyx等号成立的条件为x?y?2，所以x?y?4．故填4．
?x?2???y?2?…?x?y?4?，
解法三：因为16?yxx?y所以16?x?y?…?x?y??8?x?y??16，即?x?y?4??0，所以x?y?4．故填
222224．
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?x?2?解法四：由
y222?y?2??x142?x2y244??4x4y? ??????????xyx??yx??y?xy44?…4???????2?4?16，等号成立的条件是x?y?2，
?yxyx?所以x?y?4．故填4．
评注 常见的不等式链“调和平均数Hn?几何平均数Gn?算术平均数An?幂平均数
Qn”，
简记为调几算幂，设a1,a2,???,an是n个正实数， 则
n111??????a1a2an剟a1a2???ann22a1?a2?????ana12?a2?????an． ?nn10．设M表示满足下列条件的正整数n的和：n整除20162，且2016整除n2，那么M的所有不同正因子的个数为 ． 解析 因为n20162，2016n2，
所以n与2016的素因子相同，而2016?25?32?7，故可设n?25?32?7．
5x10?x?10?2x…?3剟???2，从而有?1剟y4， 这样我们由题设条件可得?y?4，且?2y…?z?2?2z…?1剟1???z2故M?23?24?????210?3?32?33?34?7?72?23?28?1?3?40?56
?????????23?5?51?3?23?5?23?7?29?32?52?7?17，
所以，M的所有不同正因子的个数为?9?1??2?1??2?1??1?1??1?1??360．
评注 算术基本定理：若不计素因数的次序，则每一个大于1的整数n都可以唯一分解
???成素因数乘积的形式，即n?p11p22Lpkk，其中p1,p2,L,pk均为素数，
?1,?2,L,?k为自然数． 有结论如下：
（1）n的约数个数为f?n????1?1???2?1??????k?1?； （2）n的所有约数之和为
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?1?p?p121?1?L?p1??1?p2?p22?????p2?2????1?pk?pk2?L?pk?k； ??（3）欧拉（Euler）函数??n?表示不大于n且与n互质的数的个数为
??n??n?1???1??1??1?1?L1??． ????p1??p2??pk?二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知
1135?????，???0,?，求tan?． sin?cos?12?2?解析 解法一：由题设知12?sin??cos???35sin?cos?，
t2?1t2?1令sin??cos??t，则t?1,2??，且sin?cos??2，则12t?35?2，
?即35t2?24t?35?0，解得t?即有sin??cos??所以sin??75或t??（舍）， 57712，sin?cos??． 525433443，cos??或sin??，cos??，从而tan??或． 5555342112352?11????解法二：由题设可得2?? ??22sin?cos?sin?cos?12?sin?cos??22sin2??cos2?sin2??cos2?2?sin??cos?? ???22sin?cos?sin?cos?2?tan??1??1?1?1?2?tan???2tan????tan??2?????，
tan?tan?tan2?tan?????22注意到tan??0，解得tan??12543?（舍负），进一步解得tan??或． tan?123412．如图，点P在△ABC的边AB上，且AB?4AP，过点P的直线MN与△ABC的外接圆交于点M,N，且点A是弧MN的中点． 求证： （1）△ABN∽△ANP； （2）BM?BN?2MN．
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AMPNBC
JC2016T10
解析 （1）因为点A是弧MN的中点，所以?AMN??ANM， 又?AMN??ABN，所以?ABN??ANP， 又因为?BAN??NAP，所以△ABN∽△ANP． （2）由（1）知，
ABANBN??，又AB?4AP， ANAPNPBN?2，即BN?2NP， NP所以AN?2AP，从而
同理BM?2MP．所以BM?BN?2MN．
x2y213．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:2?2?1的右焦点为F，过点F的直线lab与双曲线C交于A,B两点． 若OF?AB?FA?FB，求双曲线C的离心率e．
解析 解法一（参数方程法）：因为双曲线C的右焦点F的坐标为?c,0?，设直线l的倾斜角为?，
?x?c?tcos?则直线l的方程即为?（t为参数）．
?y?tsin?代入双曲线方程，并整理得c2cos2??a2t2?2b2ccos??t?b4?0，
??2b2c2cos2??c2cos2??a2b42ab2?2则有t1t2?2，t1?t2?，
ccos2??a2ccos2??a2c2cos2??a22ab2cb4?2因为OF?AB?FA?FB，则有2， 2222ccos??accos??a??从而2ac?b2，即e2?2e?1?0，因为e?1，故e?1?2．
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全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题答案电子教案
