三次函数的图象和性质
曹一洪 (广东省中山市中山纪念中学 528454) 【期刊名称】中学数学月刊 【年(卷),期】2016(000)007 【总页数】3
二次函数由顶点坐标、对称轴、开口方向(即凸凹)可以比较准确地作出它的图象.对于三次函数，它的导函数是二次函数，利用其导函数性质可以比较准确地作出三次函数的图象.下面着重研究当a>0时，函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象和性质，对于a<0的图象和性质可以由函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称而得到.
1 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象有一个拐点
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的导函数是二次函数，导函数f′(x)的对称轴，导数的几何意义是切线斜率，所以函数y=f(x)图象上的切线斜率的最小值是).因为3a>0，二次函数f′(x)在区间上是减函数，所以函数f(x)的图象在区间上是凸的；导函数f′(x)在区间上是增函数，所以函数f(x)图象在区间上是凹的;在处导数取最小值的点是函数f(x)图象的拐点(如图1).
2 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的拐点是其图象的对称中心
三次函数的图象是关于这个拐点成中心对称图形的.证明如下：
设点P(x0,y0)是f(x)图象上任意一点，所以，设点P关于点M的对称点为P1(x1,y1)，由中点坐标公式有?又,所以).
下面我们证明点P1(x1,y1)在函数f(x)的图象上.因为,所以).
将(1)式代入得,由(2)式得f(x1)=y1，所以点P1(x1,y1)在函数f(x)的图象上.因
此,f(x)图象上任意一点P(x0,y0)关于点的对称点P1(x1,y1)也在f(x)的图象上，所以函数f(x)的图象关于它的拐点是成中心对称图形的，图象在其对称中心两侧,一侧是凸，另一侧是凹.
3 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象在其对称中心左右两侧的图象分别在对称中心处切线的下方和上方
设函数f(x)在处的切线为l，由(*)式可知直线l过点，斜率为，直线l的方程设为y=k0x+n0.设g(x)=f(x)-k0x-n0.由于g′(x)=f′(x)-k0≥0,所以g(x)在(-∞, +∞)上是增函数，又点是直线l和f(x)公共点，，所以当时，g(x)在上是增函数，故.所以f(x)-(k0x+n0)<0,即f(x) 所以在区间上，直线l在函数f(x)图象的上方.当时，g(x)在上是增函数， 所以.故f(x)-(k0x+n0)>0,即f(x)>k0x+n0,所以在区间上,直线l在函数f(x)图象的下方. 4 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)存在极值点的判定式是Δ=4b2-12ac 当时，也是导函数二次式f′(x)=3ax2+2bx+c的判别式Δ=4b2-12ac≤0时，f′(x)≥0，函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，没有极值点. 当Δ>0时，f′(x)=0有两根x1,x2(x1 5 如何比较准确地作出三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象 综合以上对三次函数图象性质的研究，我们可以像作二次函数图象一样，利用 函数图象特征量，比较准确地作出三次函数的图象. 例1 作出函数的图象. 解 因为f′(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0，所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.当x=1时，切线斜率的最小值是k0=f′(1)=1，此处切线的倾斜角取最小值，过点作出斜率为k0=1的直线l. 当x<1时，函数f(x)的图象在直线l的下方，且上凸； 当x>1时，函数f(x)的图象在直线l的上方，且下凹.参考f(0)=1和点(0,1)关于拐点的对称点，可以作出f(x)的图象(图2). 例2 作出函数的图象. 解 因为f′(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，当x=1时，f′(x)的最小值为0，此处切线倾斜角取最小值为0°，又，过点作斜率为0的直线l.当x<1时，图象在直线l下方，且上凸；当x>1时，图象在直线l上方，下凹，参考f(0)=2和点(0,2)关于拐点的对称点，可以作出函数f(x)的图象(图3). 例3 作出函数的图象. 解 因为f′(x)=x2-2x=x(x-2)=(x-1)2-1，所以当x=1时，f′(x)的最小值为-1，即f(x)在x=1处的切线l斜率的最小值为-1.当x<0或x>2时，f′(x)>0，f(x)的增区间是(-∞,0)∪(2,+∞)；当0 所以作三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象时，先求出f′(x)，它是二次函数，求出它的最小值点，得到拐点的横坐标和拐点处的切线斜率，从而作出这条切线l，当判别式Δ≤0时，函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，在切线的左、
三次函数的图象和性质
