故：时，用料最省。
曲线的凹向与拐点
通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。 定义：
对区间I的曲线作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲线在切线
的上面，称曲线在区间I上凹。
曲线凹向的判定定理
定理一：设函数 导数 定理二：设函数
在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是：
在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。
在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：
＞0，则＜0，则
在[a,b]对应的曲线是下凹的； 在[a,b]对应的曲线是上凹的；
若在(a,b)内， 若在(a,b)内，
例题：判断函数的凹向
解答：我们根据定理二来判定。
因为，所以在函数的定义域(0,+∞)内，＜0，
故函数所对应的曲线时下凹的。
拐点的定义
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。
拐定的判定方法
如果在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定
；
=0，解出此方程在区间(a,b)内实根；
的拐点。
(1)：求 (2)：令
(3)：对于(2)中解出的每一个实根x0，检查是拐点，若相同，则不是拐点。
在x0左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点
例题：求曲线的拐点。
解答：由，
令 判断四、不定积分
=0，得x=0，2/3
在0，2/3左、右两侧邻近的符号，可知此两点皆是曲线的拐点。
不定积分的概念
原函数的概念
已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 dF'(x)=f(x)dx， 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。 例：sinx是cosx的原函数。 关于原函数的问题
函数f(x)满足什么条件是，才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那末原函数一共有多少个呢？
我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数，
即：F\， 则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数， 故：若函数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个. 不定积分的概念
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分，
记作
。
就是函数族
由上面的定义我们可以知道：如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数，那末f(x)的不定积分 F(x)+C. 即: 例题：求：
.
=F(x)+C
解答：由于不定积分的性质
，故=
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和； 即：
2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来， 即：
求不定积分的方法
换元法
换元法（一）：设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数. 即有换元公式: 例题：求
解答：这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。 设u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：
换元法（二）：设x=g(t)是单调的，可导的函数，并且g'(t)≠0，又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t)，
则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数） 即有换元公式:
例题：求
解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元. 设x=asint(-π/2 ，dx=acostdt,于是有： 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出某函数的不定积分，只有作大量的练习。 分部积分法 这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为： (uv)'=u'v+uv'，移项，得 uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得： 这就是分部积分公式 例题：求 ， 解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。 设u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得： 关于分部积分法的问题 在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv，否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点： (1)v要容易求得； (2) 容易积出。 几种特殊类型函数的积分举例 有理函数的积分举例 有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式， 反之为真分式。 在求有理函数的不定积分时，若有理函数为假分式应先利用多项式的除法，把一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式，然后再求之。 例题：求 解答： 关于有理函数积分的问题 有理函数积分的具体方法请大家参照有关书籍，请谅。 三角函数的有理式的积分举例 三角函数的有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数。 例题：求 解答： 关于三角函数的有理式的积分的问题 任何三角函数都可用正弦与余弦函数表出，故变量代换u=tan(x/2)对三角函数的有理式的积分应用，在此我 们不再举例。 简单无理函数的积分举例 例题：求 解答：设 ，于是x=u+1，dx=2udu，从而所求积分为： 2 五、定积分及其应用 定积分的概念 我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。 设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。如下图所示： 现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？ 我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段
高等数学教材（较完整）
