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高等数学教材(较完整) 

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则极限可能存在,也可能不存在,我们就把式子称为未定式。分别记为型

我们容易知道,对于未定式的极限求法,是不能应用\商的极限等于极限的商\这个法则来求解的,那么我们该如何求这类问题的极限呢?

下面我们来学习罗彼塔(L'Hospital)法则,它就是这个问题的答案 注:它是根据柯西中值定理推出来的。

罗彼塔(L'Hospital)法则

当x→a(或x→∞)时,函数,都趋于零或无穷大,在点a的某个去心邻域内(或当│x│>N)时,

与都存在,≠0,且存在

则:=

这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法,就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则 注:它是以前求极限的法则的补充,以前利用法则不好求的极限,可利用此法则求解。

例题:求

解答:容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的,因为它是未定式中的以利用上面所学的法则了。

型求解问题,因此我们就可

例题:求

解答:此题为未定式中的型求解问题,利用罗彼塔法则来求解

另外,若遇到

等型,通常是转化为

型后,在利用法则求解。

例题:求

解答:此题利用以前所学的法则是不好求解的,它为

型,故可先将其转化为

型后在求解,

注:罗彼塔法则只是说明:对未定式来说,当存在,则存在且二者的极限相同;而

并不是不存在时,也不存在,此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列。 函数单调性的判定法

函数的单调性也就是函数的增减性,怎样才能判断函数的增减性呢?

我们知道若函数在某区间上单调增(或减),则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.

判定方法:

设函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.

>0,那末函数<0,那末函数

在[a,b]上单调增加; 在[a,b]上单调减少.

a):如果在(a,b)内 b):如果在(a,b)内

例题:确定函数的增减区间.

解答:容易确定此函数的定义域为(-∞,+∞)

其导数为: 当x>0时, 当x<0时,

,因此可以判出:

>0,故它的单调增区间为(0,+∞); <0,故它的单调减区间为(-∞,0);

注:此判定方法若反过来讲,则是不正确的。

函数的极值及其求法

在学习函数的极值之前,我们先来看一例子:

设有函数,容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点,又可知在点

x=1左侧附近,函数值是单调增加的,在点x=1右侧附近,函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外),这些性质呢?

事实上,这就是我们将要学习的内容——函数的极值, 函数极值的定义 设函数

在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内一点.

均成立,点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有

若存在着x0点的一个邻域,对于这个邻域内任何点x(x0点除外), 则说

是函数

的一个极大值;

<均成立,

若存在着x0点的一个邻域,对于这个邻域内任何点x(x0点除外), 则说

是函数

的一个极小值.

>均成立,

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点。 我们知道了函数极值的定义了,怎样求函数的极值呢? 学习这个问题之前,我们再来学习一个概念——驻点 凡是使

的x点,称为函数

的驻点。

判断极值点存在的方法有两种:如下 方法一: 设函数

在x0点的邻域可导,且

.

>0,当x取x0右侧邻近值时,

<0,

情况一:若当x取x0左侧邻近值时,

则函数在x0点取极大值。

<0,当x取x0右侧邻近值时,

>0,

情况一:若当x取x0左侧邻近值时, 则函数

在x0点取极小值。

注:此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是: a):求

b):求 c):判断

的全部的解——驻点;

在驻点两侧的变化规律,即可判断出函数的极值。

例题:求 解答:先求导数 再求出驻点:当

极值点

时,x=-2、1、-4/5

判定函数的极值,如下图所示

方法二:

设函数在x0点具有二阶导数,且

<0,函数

>0,函数

在x0点取极大值;

在x0点取极小值;

.

则:a):当 b):当 c):当

=0,其情形不一定,可由方法一来判定.

例题:我们仍以例1为例,以比较这两种方法的区别。

解答:上面我们已求出了此函数的驻点,下面我们再来求它的二阶导数。

,故此时的情形不确定,我们可由方法一来判定; <0,故此点为极大值点;

>0,故此点为极小值点。

函数的最大值、最小值及其应用

在工农业生产、工程技术及科学实验中,常会遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使\产品最多\、\用料最省\、\成本最低\等。

这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。

怎样求函数的最大值、最小值呢?前面我们已经知道了,函数的极值是局部的。要求值、最小值时,可求出开区间(a,b)内全部的极值点,加上端点所求。

在[a,b]上的最大

的值,从中取得最大值、最小值即为

例题:求函数 解答:

在此区间处处可导,

,在区间[-3,3/2]的最大值、最小值。

先来求函数的极值,故x=±1,

再来比较端点与极值点的函数值,取出最大值与最小值即为所求。

因为,,,

故函数的最大值为,函数的最小值为。

例题:圆柱形罐头,高度H与半径R应怎样配,使同样容积下材料最省?

解答:由题意可知:为一常数,

面积

故在V不变的条件下,改变R使S取最小值。

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则极限可能存在,也可能不存在,我们就把式子称为未定式。分别记为型我们容易知道,对于未定式的极限求法,是不能应用\商的极限等于极限的商\这个法则来求解的,那么我们该如何求这类问题的极限呢?下面我们来学习罗彼塔(L'Hospital)法则,它就是这个问题的答案注:它是根据柯西中值定理推出来的。罗彼塔(L'Hospit
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