对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。 定义:如果x仅从左侧(x<x0)趋近x0时,函数
与常量A无限接近,则称A为函数
当
时的左极限.记:
如果x仅从右侧(x>x0)趋近x0时,函数
与常量A无限接近,则称A为函数
当
时的右极限.记:
注:只有当x→x0时,函数函数极限的存在准则
准则一:对于点x0的某一邻域内的一切x,x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有
≤
≤
,
的左、右极限存在且相等,方称
在x→x0时有极限
且
那末
,
存在,且等于A
注:此准则也就是夹逼准则. 准则二:单调有界的函数必有极限. 注:有极限的函数不一定单调有界 两个重要的极限
一:
...
注:其中e为无理数,它的值为:e=2.718281828459045
二:
注:在此我们对这两个重要极限不加以证明.
注:我们要牢记这两个重要极限,在今后的解题中会经常用到它们.
例题:求
解答:令,则x=-2t,因为x→∞,故t→∞,
则
注:解此类型的题时,一定要注意代换后的变量的趋向情况,象x→∞时,若用t代换1/x,则t→0. 无穷大量和无穷小量 无穷大量
我们先来看一个例子:
已知函数,当x→0时,可知,我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下:
设有函数y=,在x=x0的去心邻域内有定义,对于任意给定的正数N(一个任意大的数),总可找到正数δ,当
时,成立,则称函数当时为无穷大量。
记为:(表示为无穷大量,实际它是没有极限的)
无限趋大的定义:设有函数y=
,当x充分大时有定义,对于任意给定的正数
同样我们可以给出当x→∞时,
N(一个任意大的数),总可以找到正数M,当时,成立,则称函数当x→∞时是无穷大量,记为:
无穷小量
以零为极限的变量称为无穷小量。 定义:设有函数
,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ(或正数M),使得对于适合不等式
(或
无穷小量.
)的一切x,所对应的函数值满足不等式,则称函数当(或x→∞)时 为
记作:(或)
注意:无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量,不是常量,只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是:前者无界,后者有界,前者发散,后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.
关于无穷小量的两个定理 定理一:如果函数量,反之亦成立。
定理二:无穷小量的有利运算定理
a):有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量; b):有限个无穷小量的积仍是无穷小量;c):常数与无穷小量的积也是无穷小量.
无穷小量的比较
通过前面的学习我们已经知道,两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢?好!接下来我们就来解决这个问题,这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义:设α,β都是
时的无穷小量,且β在x0的去心领域内不为零, 在
(或x→∞)时有极限A,则差
是当
(或x→∞)时的无穷小
a):如果b):如果
,则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小;
,则称α和β是同阶无穷小;
c):如果,则称α和β是等价无穷小,记作:α∽β(α与β等价)
例:因为因为因为
等价无穷小的性质
,所以当x→0时,x与3x是同阶无穷小; ,所以当x→0时,x是3x的高阶无穷小; ,所以当x→0时,sinx与x是等价无穷小。
2
设,且存在,则.
注:这个性质表明:求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代替,因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。
例题:1.求
解答:当x→0时,sinax∽ax,tanbx∽bx,故:
例题: 2.求
解答:
注:
注:从这个例题中我们可以发现,作无穷小变换时,要代换式中的某一项,不能只代换某个因子。 函数的一重要性质——连续性
在自然界中有许多现象,如气温的变化,植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映,就是函数的连续性
在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2,终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量,记为:△x即:△x=x2-x1 增量△x可正可负.
我们再来看一个例子:函数
在点x0的邻域内有定义,当自变量x在领域内从x0变到x0+△x时,函数y相应地从
变到,其对应的增量为:
这个关系式的几何解释如下图:
现在我们可对连续性的概念这样描述:如果当△x趋向于零时,函数y对应的增量△y也趋向于零,即:末就称函数
在点x0处连续。
,那
函数连续性的定义: 设函数函数的
在点x0的某个邻域内有定义,如果有的连续点.
在区间(a,b]内有定义,如果左
称函数
在点x0处连续,且称x0为
下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念:设函数
极限存在且等于,即:
存在且等于
=,那末我们就称函数,即:
=
在点b左连续.设函数,那末我们就称函数
在区间在点a右连
[a,b)内有定义,如果右极限续.
一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续,若又在a点右连续,b点左连续,则在闭区间[a,b]连续,如果在整个定义域内连续,则称为连续函数。
注:一个函数若在定义域内某一点左、右都连续,则称函数在此点连续,否则在此点不连续. 注:连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。
通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了,同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢?接着我们就来学习这个问题:函数的间断点
函数的间断点
定义:我们把不满足函数连续性的点称之为间断点. 它包括三种情形:
a):
在x0无定义;
b):在x→x0时无极限;
c):在x→x0时有极限但不等于;
下面我们通过例题来学习一下间断点的类型:
例1: 正切函数在处没有定义,所以点是函数的间断点,因,我
们就称为函数的无穷间断点;
例2:函数在点x=0处没有定义;故当x→0时,函数值在-1与+1之间变动无限多次,我们就称点x=0叫做函
数的振荡间断点;
例3:函数当x→0时,左极限,右极限,从这我们可以看出函数
左、右极限虽然都存在,但不相等,故函数在点x=0是不存在极限。我们还可以发现在点x=0时,函数值产生跳跃现象,为此我们把这种间断点称为跳跃间断点;我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:
间断点的分类
我们通常把间断点分成两类:如果x0是函数
的间断点,且其左、右极限都存在,我们把x0称为函数的第一类
间断点;不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.
可去间断点 若x0是函数
的间断点,但极限
≠
存在,那末x0是函数。我们令
的第一类间断点。此时函数不连续原因是:,则可使函数
在点x0处连续,故这种
不存在或者是存在但
间断点x0称为可去间断点。
连续函数的性质及初等函数的连续性 连续函数的性质
函数的和、积、商的连续性
我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则,可得出以下结论: a):有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数; b):有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数;
c):两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零); 反函数的连续性 若函数连续
在某区间上单调增(或单调减)且连续,那末它的反函数
也在对应的区间上单调增(单调减)且
例:函数续的。
复合函数的连续性
在闭区间上单调增且连续,故它的反函数在闭区间[-1,1]上也是单调增且连
高等数学教材(较完整)
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