对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。 定义：如果x仅从左侧(x＜x0)趋近x0时，函数
与常量A无限接近，则称A为函数
当
时的左极限.记：
如果x仅从右侧(x＞x0)趋近x0时，函数
与常量A无限接近，则称A为函数
当
时的右极限.记：
注：只有当x→x0时，函数函数极限的存在准则
准则一：对于点x0的某一邻域内的一切x，x0点本身可以除外(或绝对值大于某一正数的一切x)有
≤
≤
，
的左、右极限存在且相等，方称
在x→x0时有极限
且
那末
，
存在，且等于A
注：此准则也就是夹逼准则. 准则二：单调有界的函数必有极限. 注：有极限的函数不一定单调有界 两个重要的极限
一：
...
注：其中e为无理数，它的值为：e=2.718281828459045
二：
注：在此我们对这两个重要极限不加以证明.
注：我们要牢记这两个重要极限，在今后的解题中会经常用到它们.
例题：求
解答：令，则x=-2t，因为x→∞，故t→∞，
则
注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象x→∞时，若用t代换1/x，则t→0. 无穷大量和无穷小量 无穷大量
我们先来看一个例子：
已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下：
设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当
时，成立，则称函数当时为无穷大量。
记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）
无限趋大的定义：设有函数y=
，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数
同样我们可以给出当x→∞时，
N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：
无穷小量
以零为极限的变量称为无穷小量。 定义：设有函数
，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式
(或
无穷小量.
)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时 为
记作：(或)
注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.
关于无穷小量的两个定理 定理一：如果函数量，反之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理
a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.
无穷小量的比较
通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义：设α，β都是
时的无穷小量，且β在x0的去心领域内不为零， 在
(或x→∞)时有极限A，则差
是当
(或x→∞)时的无穷小
a)：如果b)：如果
，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；
，则称α和β是同阶无穷小；
c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)
例：因为因为因为
等价无穷小的性质
，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小； ，所以当x→0时，x是3x的高阶无穷小； ，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。
2
设，且存在，则.
注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。
例题：1.求
解答：当x→0时，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：
例题： 2.求
解答：
注：
注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。 函数的一重要性质——连续性
在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性
在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：△x即：△x=x2-x1 增量△x可正可负.
我们再来看一个例子：函数
在点x0的邻域内有定义，当自变量x在领域内从x0变到x0+△x时，函数y相应地从
变到，其对应的增量为：
这个关系式的几何解释如下图：
现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当△x趋向于零时，函数y对应的增量△y也趋向于零，即：末就称函数
在点x0处连续。
，那
函数连续性的定义： 设函数函数的
在点x0的某个邻域内有定义，如果有的连续点.
在区间(a,b]内有定义，如果左
称函数
在点x0处连续，且称x0为
下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数
极限存在且等于，即：
存在且等于
=，那末我们就称函数，即：
=
在点b左连续.设函数，那末我们就称函数
在区间在点a右连
[a,b)内有定义，如果右极限续.
一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。
注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续. 注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。
通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点
函数的间断点
定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点. 它包括三种情形：
a)：
在x0无定义；
b)：在x→x0时无极限；
c)：在x→x0时有极限但不等于；
下面我们通过例题来学习一下间断点的类型：
例1： 正切函数在处没有定义，所以点是函数的间断点，因，我
们就称为函数的无穷间断点；
例2：函数在点x=0处没有定义；故当x→0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，我们就称点x=0叫做函
数的振荡间断点；
例3：函数当x→0时，左极限，右极限，从这我们可以看出函数
左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点x=0是不存在极限。我们还可以发现在点x=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点；我们把上述三种间断点用几何图形表示出来如下:
间断点的分类
我们通常把间断点分成两类：如果x0是函数
的间断点，且其左、右极限都存在，我们把x0称为函数的第一类
间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.
可去间断点 若x0是函数
的间断点，但极限
≠
存在，那末x0是函数。我们令
的第一类间断点。此时函数不连续原因是：，则可使函数
在点x0处连续，故这种
不存在或者是存在但
间断点x0称为可去间断点。
连续函数的性质及初等函数的连续性 连续函数的性质
函数的和、积、商的连续性
我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论： a)：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数； b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；
c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零)； 反函数的连续性 若函数连续
在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数
也在对应的区间上单调增(单调减)且
例：函数续的。
复合函数的连续性
在闭区间上单调增且连续，故它的反函数在闭区间[-1,1]上也是单调增且连
高等数学教材（较完整）
