新课标人教A高中数学选修2-2同步练习
2
π，π? C.??3?[答案] A
π5?
D.??2，6π?
[解析] 设P(x0，y0)，
22
(x＋Δx)3－3(x＋Δx)＋－x3＋3x－
33
∵f′(x)＝lim
ΔxΔx→0＝3x2－3，∴切线的斜率k＝3x20－3，
2
∴tanα＝3x0－3≥－3.
π2
0，?∪?π，π?.故应选A. ∴α∈??2??3?
10．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围π
为[0，]，则点P横坐标的取值范围为( )
4
1
A．[－1，－]
2C．[0,1] [答案] A
[解析] 考查导数的几何意义．
π
∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，]，
4∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1， 1
∴－1≤x≤－.
2
11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________． [答案] 4x－y－1＝0 [解析] ∵f(x)＝x2＋3，x0＝2
∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2 ∴
ΔyΔy＝4＋Δx.∴lim ＝4.即f′(2)＝4. ΔxΔx→0Δx
B．[－1,0] 1
D．[，1]
2
又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2) 即4x－y－1＝0.
1
12．若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线的方程为________．
x[答案] y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)
1
[解析] 由f(x)＝x－＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．
x
第16页 共27页
新课标人教A高中数学选修2-2同步练习
11
(x＋Δx)－－x＋
xx＋Δx
∵f′(x)＝lim
ΔxΔx→0
?1＋1?＝1＋12. ＝lim x(x＋Δx)?xΔx→0?
1
∴切线的斜率k＝1＋＝2.
1
∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．
13．曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个． [答案] 至少一
[解析] 由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．
14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________． [答案] 3x－y－11＝0
[解析] 设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为出其最小值．
设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝
2
＝3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)＋3.当x0
，它是x0的函数，求
＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.
三、解答题
71
4，－?处的切线方程． 15．求曲线y＝－x上一点P?4??x
[解析] ∴y′＝lim →
Δx0
?1－1?－(x＋Δx－x)
?x＋Δxx?
Δx
－ΔxΔx
－
x(x＋Δx)x＋Δx＋x
＝lim ΔxΔx→0
111?－1－?＝lim ＝－ . 2－??x2xΔx→0?x(x＋Δx)x＋Δx＋x?115∴y′|x＝4＝－－＝－，
16416
7
4，－?处的切线方程为： ∴曲线在点P?4??75
y＋＝－(x－4)． 416即5x＋16y＋8＝0.
16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
第17页 共27页
新课标人教A高中数学选修2-2同步练习
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)． (x＋Δx)3－3(x＋Δx)－3x3＋3x2
[解析] (1)y′＝lim ＝3x－3.
ΔxΔx→0则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率 k1＝f′(1)＝0，
∴所求直线方程为y＝－2. (2)设切点坐标为(x0，x30－3x0)， 则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3x20－3，
2
∴直线l的方程为y－(x30－3x0)＝(3x0－3)(x－x0)
又直线l过点P(1，－2)，
2∴－2－(x30－3x0)＝(3x0－3)(1－x0)， 3∴x0－3x0＋2＝(3x20－3)(x0－1)，
1解得x0＝1(舍去)或x0＝－.
29
故所求直线斜率k＝3x20－3＝－， 4
991于是：y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋. 444
1
17．求证：函数y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.
x[解析] y′＝lim →
Δx0
f(x＋Δx)－f(x)
Δx
＝lim →
Δx0
?x＋Δx＋1?－?x＋1?
x＋Δx??x??
Δx
x·Δx(x＋Δx)－Δx
(x＋Δx)·x·Δx(x＋Δx)x－1
(x＋Δx)x
＝lim →
Δx0
＝lim →
Δx0
x2－11
＝2＝1－2＜1，
xx
1
∴y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.
x
18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积． [解析] (1)y′|x＝1
第18页 共27页
新课标人教A高中数学选修2-2同步练习
(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－2－(12＋1－2)
＝lim ＝3，
ΔxΔx→0所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3. 设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)， (b＋Δx)2＋(b＋Δx)－2－(b2＋b－2)
y′|x＝b＝lim ΔxΔx→0
＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2. 2122
因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，所以l2的方程为：y＝－x－. 339
??
(2)由?得?122
5y＝－x－，?39?y＝－?2，
?y＝3x－3，
1x＝，6
15，－?. 即l1与l2的交点坐标为?2??6
22
－，0?. 又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，??3?5221125
－?×?1＋?＝. 所以所求三角形面积S＝×?3?122?2??
第19页 共27页
新课标人教A高中数学选修2-2同步练习
练习三组
1．下列结论不正确的是( ) A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5 C．若y＝x－
1，则y′＝－x－
2
[答案] D
2.曲线y＝1
73x3－2在点??－1，－3??处切线的倾斜角为( ) A．30° B．45° C．135°
D．60°
[答案] B
[解析] y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.
3.函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( ) A．1 B．2 C．3
D．4
[答案] D
[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′ ＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1， ∴y′|x＝1＝4.
4.设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是( A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0 C．b＝0，c>0
D．b2－3ac<0
[答案] D
[解析] ∵a>0，f(x)为增函数， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.
第20页 共27页
)
高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析
