新课标人教A高中数学选修2-2同步练习
11
－Δy2＋Δx212
[解析] ＝＝－＝－.
ΔxΔx94＋2Δx
1
13．函数y＝x在x＝1附近，当Δx＝时的平均变化率为________．
2[答案] [解析]
6－2
1＋Δx－1Δy1＝＝＝6－2. ΔxΔx1＋Δx＋1
14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
[答案] 5 4.1
[解析] 当Δx＝1时，割线AB的斜率
2222Δy(2＋Δx)－1－2＋1(2＋1)－2k1＝＝＝＝5.
ΔxΔx1
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率
22
Δy(2＋0.1)－1－2＋1k2＝＝＝4.1.
Δx0.1
三、解答题
15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．
[解析] 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 f(－1)－f(－3)[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]
＝＝2.
2－1－(－3)
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为 f(5)－f(0)
＝2. 5－0
函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 g(－1)－g(－3)
＝－2.
－1－(－3)
函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为 g(5)－g(0)
＝－2.
5－0
2
16．过曲线f(x)＝2的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx
x1
＝时割线的斜率． 4
[解析] 割线AB的斜率k＝
(2＋Δy)－2Δy
＝ (1＋Δx)－1Δx
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2
－2
(1＋Δx)2－2(Δx＋2)72＝＝2＝－. Δx25(1＋Δx)
17．求函数y＝x2在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？ [解析] 在x＝2附近的平均变化率为 f(1＋Δx)－f(1)(1＋Δx)2－1k1＝＝＝2＋Δx；
ΔxΔx在x＝2附近的平均变化率为
f(2＋Δx)－f(2)(2＋Δx)2－22
k2＝＝＝4＋Δx；
ΔxΔx在x＝3附近的平均变化率为
f(3＋Δx)－f(3)(3＋Δx)2－32
k3＝＝＝6＋Δx.
ΔxΔx对任意Δx有，k1＜k2＜k3， ∴在x＝3附近的平均变化率最大．
18．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．
[解析] (1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，
则即
ABBE＝， ACCD
y1.61＝，所以y＝f(x)＝x.
4y＋x8
(2)84m/min＝1.4m/s，在[0,10]内自变量的增量为
x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14， 117
f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝. 4427
f(x2)－f(x1)21所以＝＝.
144x2－x1
1
即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为.
4
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练习二组
一、选择题
1．函数在某一点的导数是( )
A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C
Δy
[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数，故应选C.
Δx2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( ) A．6 C．54 [答案] B
[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32 Δs
＝18Δt＋3(Δt)2∴＝18＋3Δt.
ΔtΔs
当Δt→0时，→18，故应选B.
Δt3．y＝x2在x＝1处的导数为( ) A．2x C．2＋Δx [答案] B
[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，
∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2 ∴
Δy
＝2＋Δx Δx
B．2 D．1
B．18 D．81
Δy
当Δx→0时，→2
Δx∴f′(1)＝2，故应选B.
4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为( )
A．37 C．39 [答案] D
B．38 D．40
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[解析] ∵Δs4(5＋Δt)2－3－4×52
＋3
Δt＝Δt
＝40＋4Δt，
∴s′(5)＝liΔs
Δmt→
0
Δt＝liΔmt→0
(40＋4Δt)＝40.故应选D. 5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( ) A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量
B.Δyf(x0＋Δx＝Δx)－f(x0)
Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 C．f(x)在x0处的导数记为y′ D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0) [答案] C
[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.
6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( ) A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) B．f′(x0)＝liΔmx→
0
[f(x0＋Δx)－f(x0)] C．f′(xf(x0＋Δx)－f(x0)0)＝Δx
D．f′(x0)＝limf(x0＋Δx)－f(x0)
Δx→
0
Δx
[答案] D
[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.
7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( ) A．4a B．2a＋b C．b
D．4a＋b
[答案] D
[解析] ∵Δya(2＋Δx)2
＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－c
Δx＝Δx
＝4a＋b＋aΔx， ∴y′|Δy
x＝2＝liΔmx→
0
Δx＝liΔmx→0
(4a＋b＋a·Δx)＝4a＋b.故应选D. 8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A．圆 B．抛物线 C．椭圆
D．直线
[答案] D
[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.
9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( 第10页 共27页
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高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析
