(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.过椭圆A.4
+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|等于( )
B.2
C.1
D.4
【解析】选C.因为
+y2=1中a2=4,b2=1,
,0),
所以c2=3,所以右焦点坐标F(
将x=代入
+y2=1得,y=±,故|AB|=1.
2.已知直线l过点(3,1),且椭圆C:A.1 C.2
+
=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
B.1或2 D.0
【解析】选C.因为直线过定点(3,1)且+
<1,
所以点(3,1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
3.直线y=kxk+1与椭圆A.相交
+
=1的位置关系是( )
C.相离
D.不确定
B.相切
【解析】选A.直线y=kxk+1=k(x1)+1过定点(1,1),且该点在椭圆内部,因此必与椭圆相交,故选A. 4.(·杭州高二检测)已知椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,若直
线OM的斜率为,则
的值为( )
A. B. C.
D.2
【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),
由题意可得因为A,B在椭圆上, 所以m
+n
=1,m
==,
=1 ①
+n
=1,
两式相减可得m(x1x2)(x1+x2)+n(y1y2)(y1+y2)=0 ②
所以=
,
即1=
,
所以1=·,=
.
5.(·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离
心率,M为AB的中点,则kAB·kOM的值为( ) A.e1
B.1e
C.e21
D.1e2
【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),
由点差法,+=1,+
=1,作差得
=
,
所以kAB·kOM=·==
=e21.
6.(·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的
中点坐标为(1,1),则E的方程为( )
A.+=1 B.+
=1
C.+=1 D.+
=1
【解题指南】本题中给出AB的中点坐标,所以在解题时先设出A,B两点坐标,然后采用点差法求解.
【解析】选D.由椭圆b2x2+a2y2=a2b2,
+
=1得,
因为过点F的直线与椭圆+
=1(a>b>0)交于A,B两点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
= a2b2①, = a2b2②,
)+ a2(
=1,
=1,
则b2b2
+ a2+ a2
由①②得b2(
)=0,
化简得b2(x1x2)(x1+x2)+a2(y1y2)(y1+y2)=0. 2b2(x1x2)2a2(y1y2)=0,
=
,
又直线的斜率为k==,即
=.
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战53431
