从小丘西行百二十步,隔篁竹,闻水声,如鸣珮环,心乐之。伐竹取道,下见小潭,水尤清冽。全石以为底,近岸,卷石底以出,为坻,为屿,为嵁,为岩。青树翠蔓,蒙络摇缀,参差披拂。珮通:佩一猴死,见冥王,求转人身。王曰:“既欲做人,须将毛尽拔去。”即唤夜叉拔之。方拔一根,猴不胜痛叫。王笑曰:“看你一毛不拔,如何做人?”第6讲 抛物线
一、选择题
1.抛物线x=(2a-1)y的准线方程是y=1,则实数a=( )
5313A.B.C.-D.- 2222
1?1?2
解析 根据分析把抛物线方程化为x=-2?-a?y,则焦参数p=-a,
2?2?
11-a-a2p23
故抛物线的准线方程是y==,则=1,解得a=-.
2222
答案 D 2.若抛物线y=2px(p>0)的焦点在圆x+y+2x-3=0上,则p=( ) 1
A.B.1 2C.2 D.3
解析∵抛物线y=2px(p>0)的焦点为(,0)在圆x+y+2x-3=0上,∴+p-3=0,
24解得p=2或p=-6(舍去). 答案C
3.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=( ). 4334
A.B.C.-D.- 5555
??y=4x解析 由?
??y=2x-4,
2
2
2
2
2
2
2
p22
p2
得x-5x+4=0,∴x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),
2
→→
FA·FB-8→→→→
则|FA|=5,|FB|=2,FA·FB=(3,4)·(0,-2)=-8,∴cos∠AFB===
→→5×2|FA||FB|4
-.故选D. 5答案 D
x2y22
4.已知双曲线C1:2-2=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x=2py(p>0)的焦点到
ab双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为
().
831632
A.x=yB.x2=y
33C.x=8yD.x=16y
2
2
从小丘西行百二十步,隔篁竹,闻水声,如鸣珮环,心乐之。伐竹取道,下见小潭,水尤清冽。全石以为底,近岸,卷石底以出,为坻,为屿,为嵁,为岩。青树翠蔓,蒙络摇缀,参差披拂。珮通:佩一猴死,见冥王,求转人身。王曰:“既欲做人,须将毛尽拔去。”即唤夜叉拔之。方拔一根,猴不胜痛叫。王笑曰:“看你一毛不拔,如何做人?”x2y2cc2a2+b2b2
解析 ∵2-2=1的离心率为2,∴=2,即2=2=4,∴=3.x=2py的焦点
abaaaap坐标为?0,?,2-2=1的渐近线方程为y=±x,即y=±3x.由题意,得a?2?ab1+=2,∴p=8.故C2:x=16y,选D. 答案 D
5.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,
2
?
p?x2
y2
b23
2
P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( ).
A.18 B.24 C.36 D.48 解析 如图,设抛物线方程为
y2=2px(p>0).
∵当x=时,|y|=p,
2|AB|12∴p===6.
22又P到AB的距离始终为p, 1
∴S△ABP=×12×6=36.
2答案 C
6.已知P是抛物线y=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是( ). A.3B.5C.2 D.5-1
解析 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为
2
pd+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为
|2+3|2+-答案 D 二、填空题
7.已知动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________.
解析 设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y=4x. 答案 y=4x
8.已知抛物线y=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|
2
2
2
22=5,所以d+|PF|-1的最小值为5-1.
从小丘西行百二十步,隔篁竹,闻水声,如鸣珮环,心乐之。伐竹取道,下见小潭,水尤清冽。全石以为底,近岸,卷石底以出,为坻,为屿,为嵁,为岩。青树翠蔓,蒙络摇缀,参差披拂。珮通:佩一猴死,见冥王,求转人身。王曰:“既欲做人,须将毛尽拔去。”即唤夜叉拔之。方拔一根,猴不胜痛叫。王笑曰:“看你一毛不拔,如何做人?”=
3
|MN|,则∠NMF=________. 2
3
MN,∠NMF=∠MNP.又cos2
解析过N作准线的垂线,垂足是P,则有PN=NF,∴PN=∠MNP=3, 2
ππ
∴∠MNP=,即∠NMF=. 66π
答案 6
9.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.
解析 如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2
2
=-2py.由题意A(2,-2)代入x=-2py,得p=1,故x=-2y.设B(x,-3),代入x=-2y中,得x=6,故水面宽为26米. 答案 26
252
10.过抛物线y=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则
12|AF|=________.
2
2
y=2x,??1??解析 设过抛物线焦点的直线为y=k?x-?,联立得,??x-1?,?2?y=k?2?????
2
2
2
2
整理得,kx22
12k+21k+2252
-(k+2)x+k=0,x1+x2=2,x1x2=.|AB|=x1+x2+1=2+1=,得,k4k4k1212132222
=24,代入kx-(k+2)x+k=0得,12x-13x+3=0,解之得x1=,x2=,又
43415
|AF|<|BF|,故|AF|=x1+=.
265答案 6