从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩一猴死，见冥王，求转人身。王曰：“既欲做人，须将毛尽拔去。”即唤夜叉拔之。方拔一根，猴不胜痛叫。王笑曰：“看你一毛不拔，如何做人？”第6讲 抛物线
一、选择题
1．抛物线x＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝( )
5313A.B.C．－D．－ 2222
1?1?2
解析 根据分析把抛物线方程化为x＝－2?－a?y，则焦参数p＝－a，
2?2?
11－a－a2p23
故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－.
2222
答案 D 2．若抛物线y＝2px(p>0)的焦点在圆x＋y＋2x－3＝0上，则p＝( ) 1
A.B．1 2C．2 D．3
解析∵抛物线y＝2px(p>0)的焦点为(，0)在圆x＋y＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，
24解得p＝2或p＝－6(舍去)． 答案C
3．已知抛物线C：y＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )． 4334
A.B.C．－D．－ 5555
??y＝4x解析 由?
??y＝2x－4，
2
2
2
2
2
2
2
p22
p2
得x－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，
2
→→
FA·FB－8→→→→
则|FA|＝5，|FB|＝2，FA·FB＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝
→→5×2|FA||FB|4
－.故选D. 5答案 D
x2y22
4．已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x＝2py(p>0)的焦点到
ab双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为
()．
831632
A．x＝yB．x2＝y
33C．x＝8yD．x＝16y
2
2
从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩一猴死，见冥王，求转人身。王曰：“既欲做人，须将毛尽拔去。”即唤夜叉拔之。方拔一根，猴不胜痛叫。王笑曰：“看你一毛不拔，如何做人？”x2y2cc2a2＋b2b2
解析 ∵2－2＝1的离心率为2，∴＝2，即2＝2＝4，∴＝3.x＝2py的焦点
abaaaap坐标为?0，?，2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±3x.由题意，得a?2?ab1＋＝2，∴p＝8.故C2：x＝16y，选D. 答案 D
5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，
2
?
p?x2
y2
b23
2
P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )．
A．18 B．24 C．36 D．48 解析 如图，设抛物线方程为
y2＝2px(p＞0)．
∵当x＝时，|y|＝p，
2|AB|12∴p＝＝＝6.
22又P到AB的距离始终为p， 1
∴S△ABP＝×12×6＝36.
2答案 C
6．已知P是抛物线y＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )． A.3B.5C．2 D.5－1
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为
2
pd＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为
|2＋3|2＋－答案 D 二、填空题
7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y＝4x. 答案 y＝4x
8．已知抛物线y＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|
2
2
2
22＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.
从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩一猴死，见冥王，求转人身。王曰：“既欲做人，须将毛尽拔去。”即唤夜叉拔之。方拔一根，猴不胜痛叫。王笑曰：“看你一毛不拔，如何做人？”＝
3
|MN|，则∠NMF＝________. 2
3
MN，∠NMF＝∠MNP.又cos2
解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝∠MNP＝3， 2
ππ
∴∠MNP＝，即∠NMF＝. 66π
答案 6
9．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解析 如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2
2
＝－2py.由题意A(2，－2)代入x＝－2py，得p＝1，故x＝－2y.设B(x，－3)，代入x＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米． 答案 26
252
10．过抛物线y＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则
12|AF|＝________.
2
2
y＝2x，??1??解析 设过抛物线焦点的直线为y＝k?x－?，联立得，??x－1?，?2?y＝k?2?????
2
2
2
2
整理得，kx22
12k＋21k＋2252
－(k＋2)x＋k＝0，x1＋x2＝2，x1x2＝.|AB|＝x1＋x2＋1＝2＋1＝，得，k4k4k1212132222
＝24，代入kx－(k＋2)x＋k＝0得，12x－13x＋3＝0，解之得x1＝，x2＝，又
43415
|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋＝.
265答案 6
2024版高考数学一轮复习第九章解析几何第6讲抛物线理
