P(A|B1)?111，P(A|B2)?，P(A|B3)?， （2分） 43123（1）由全概率公式，迟到的概率为
111P(A)??P(Bi)P(A|Bi)?0.3??0.2??0.1??0.15. （4分）
14312（2）由贝叶斯公式，他迟到了，是乘火车来的概率为
0.3?1P(B?P(B1)P(A|B1)1|A)4P(A)?0.15?0.5.
2. 设随机变量X的概率密度为f?x????ax?b0?x?1，已知?0其它E(X)?13，
求：（1）常数a，b； （2）D(X). 解 （1）1????1??f?x?dx??0(ax?b)dx?12a?b E(X)??????xf?x?dx??10x(ax?b)dx?13a?12b?13 解上面两个方程，得a??2，b?2. （2）E(X2)????2121??xf?x?dx??0x(?2x?2)dx?6 D(X)?E(X2)?[E(X)]2?16?(13)2?118.
2. 设随机变量X的概率密度为f(x)???ax(1?x),0?x?1,?0,其他. 求：（1）常数a； （2）E(X)； （3）D(X).
4分） 2分） 2分）
（1分）（2分）（3分） （（ （
解 （1）1?112，a?6 （3分） fxdx?a(x?x)dx?a??????06??1123（2）E(X)??xf?x?dx??6(x?x)dx? （3分）
??02??132234（3）E(X)??xf?x?dx??6(x?x)dx? （2分）
??010311. （2分） D(X)?E(X2)?[E(X)]2??()2???10220
3. 设X1,X2,L,Xn是来自总体X的一组样本，已知总体X的密度函数为
f(x)???(??1)x?,0?x?1，??1， ?0,其他。求：（1）?的矩估计量；
（2）?的极大似然估计量.
解 （1）矩估计法：
E(X)??1??10x(??1)x?dx???2， 用样本均值X来估计总体期望，得X?E(X)???1??2， 求出?的矩估计量???1?2xx?1. （2）极大似然估计法：
由于x1,x2,...xn均来自该总体，得x1,x2,...xn的联合概率密度即似然函数
nL?f(x1,x2,...,xn;?)??f(xnni;?)?(??1)(?x?i)， i?1i?1对似然函数两边取对数得到
nlnL?nln(??1)???lnxi， i?1再对似然方程求导，
dlnLnd??n??1??lnxi， i?12分）
2分）
1分） 1分）
1分）
1分） （ （ （ （ （ （nn??lnxi?0，求得极大似然估计量 找到导数为0的点，即
??1i?1????n?lnxi?1n?1. （2分）
i
3. 设X1,X2,L,Xn是来自总体X的一组样本，已知总体X~P(?)，分布律为
P{X?x}?求：（1）?的矩估计量；
（2）?的极大似然估计量.
解 （1）矩估计法：
?xx!e??,x?0,1,2,L，
E(X)??， （2分）
用样本均值X来估计总体期望，得X?E(X)??， （2分）
??X； （1分） ?的矩估计是?（2）极大似然估计法：
n求似然函数：L(x1,x2,...,xn;p)?n?P(Xi?1nii?xi)???xii?1nx1!x2!Lxn!?e?n?， （1分）
两边取对数：lnL?(?x)ln???ln(x!)?n?， （1分）
ii?1i?1dlnL1n??xi?n， （1分） 求导：
d??i?1dlnL???0，得到?的极大似然估计?令
d?
?xi?1nin?X． （2分）
24. 设某种零件的长度X～N(?,?)（单位：cm），现有9个样本观测值：6.0，5.7，5.8，6.5，
（取小数点后两位） 7.0，6.3，5.6，6.1，5.0，求?的置信度为0.95的置信区间。
t0.025(8)?2.3060，t0.025(9)?2.2622
解 未知?的条件下，估计?的置信区间，??0.05，t0.025(8)?2.3060， （2分）
因此可以得到
2
x?t?(n?1)2S0.5745?6?2.306??5.56， （3分） n9S0.5745?6?2.306??6.44， （3分） n9x?t?(n?1)2?的0.95的置信区间为(5.56，6.44). （2分）
24.设某地区成年女子的身高X～N(?,?)（单位：m），现随机抽取成年女子25名，测得身高的平
均数为x?1.67m，标准差为s?0.038m，求?的置信度为0.95的置信区间。（取小数点后两位）
t0.025(24)?2.0639，t0.025(25)?2.0595
解 未知?的条件下，估计?的置信区间，??0.05，t0.025(24)?2.0639， （2分）
因此可以得到
2
x?t?(n?1)2S0.038?1.67?2.0639??1.65， （3分） n25S0.038?1.67?2.0639??1.69， （3分） n25x?t?(n?1)2?的0.95的置信区间为(1.65，1.69). （2分）
5．某高校大一新生进行微积分期中考试，测得平均成绩为75.6分，标准差为7.4分。从该校经管专业抽取50名学生，测得数学平均成绩为78分，试问该专业学生与全校学生的微积分成绩有无显著差异？（?=0.05 ）u?2＝1.96
解 方差已知，均值的检验
已知条件：X?78，?0?75.6，??7.4，n?50，
待检验的假设为：H0:??75.6，H1:??75.6， （2分） 在H0成立的条件下，统计量
U?X??0~N?0,1?， （3分）
?n对?＝0.05，u?2＝1.96， 由于
U?78?75.6?2.293?1.96， （3分）
7.450故拒绝原假设H0，也就是说，该专业学生与全校学生数学成绩有显著差异. （2分）
25．家乐福超市每年中秋前夕会进行月饼促销，往年各门店销售额X～N(4.8,0.2)（单位：万元）。
今年采取了新的营销策略，10个门店的平均销售额为5万元。试问今年的销售额与往年有无显著差异？（?=0.05 ）u?2＝1.96
解 方差已知，均值的检验
已知条件：X?5，?0?4.8，??0.2，n?10，
待检验的假设为：H0:??4.8，H1:??4.8， （2分） 在H0成立的条件下，统计量
U?X??0~N?0,1?， （3分）
?n对?＝0.05，u?2＝1.96， 由于
成都信息工程大学概率论试题
