题组层级快练(八十八)
1.下列函数是正态密度函数的是(μ、σ(σ>0)都是实数)( ) 1
A.f(x)＝e2πσ
1
（x－μ）2
2σ2
2πx2
B.f(x)＝e－
2π21x
D.f(x)＝－e2
2π
2
x－σ
C.f(x)＝e－
42 2π【参考答案】：B
【试题解析】：A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零.而C中的函数无对称轴,D中的函数图像在x轴下方,所以选B.
2.(2019·甘肃河西五市联考)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>2)＝p,即P(－2<ξ<0)＝( ) 1
A.＋p 21
C.－p 2
【参考答案】：C
1－2p1【试题解析】：由对称性知P(ξ≤－2)＝p,所以P(－2<ξ<0)＝＝－p.
22
3.(2019·海南海口期末)已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)＝0.5,P(X>2)＝0.3,则P(X<0)＝( ) A.0.2 C.0.7 【参考答案】：B
【试题解析】：随机变量X服从正态分布N(a,4),所以曲线关于x＝a对称,且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5,可知a＝1,所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3,故选B.
4.(2019·山东济南期末)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(0,σ2),若ξ在(－∞,－1)内取值的概率为0.1,则在(0,1)内取值的概率为( ) A.0.8 C.0.2 【参考答案】：B
【试题解析】：∵ξ服从正态分布N(0,σ2),∴曲线的对称轴是直线x＝0.∵P(ξ<－1)＝0.1,∴P(ξ>1)＝0.1,∴ξ在(0,1)内取值的概率为0.5－0.1＝0.4,故选B.
5.(2019·福建永春一中、培元中学、季延中学、石光中学第一次联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试,其数学考试成绩X近似服从正态分布N(100,a2)(a>0),试卷满分
B.0.4 D.0.1 B.0.3 D.0.8 B.1－p D.1－2p
1
150分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的,则此次数学考试
10成绩在100分到110分之间的人数约为( ) A.400 C.600 【参考答案】：A
114【试题解析】：由题意得,P(X≤90)＝P(X≥110)＝,所以P(90≤X≤110)＝1－2×＝,所
1010522
以P(100≤X≤110)＝,所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为1 000×＝
55400.
6.(2019·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布的密度曲线如图所示,若体重在58.5～62.5 kg属于正常,则这1 000名青年职员中体重属于正常的人数约是( )
B.500 D.800
A.683 C.341 【参考答案】：A
【试题解析】：∵P(58.5 7.(2019·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64),则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( ) A.0.3% C.1.5% 【参考答案】：D 【试题解析】：依题意,得μ＝116,σ＝8,所以μ－3σ＝92,μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ,μ＋3σ)内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的1－99.7% 百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为＝0.15%.故选D. 28.如果随机变量X～N(μ,σ2),且E(X)＝3,D(X)＝1,则P(0 0.997 4－0.954 4【试题解析】：X～N(3,12),因为0 2 B.0.003 D.0.021 5 B.0.23% D.0.15% B.841 D.667 9.(2019·皖南十校联考)在某市2017年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( ) A.1 500 C.4 500 【参考答案】：A 11【试题解析】：因为学生的数学成绩X～N(98,100),所以P(X≥108)＝[1－P(88 221 [1－P(μ－σ 27×9 450≈1 500名,故选A. 10.吉林大学的某系的大一(2)班共有55人,其中男生22人,女生33人,现用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本,女生抽取a人.若随机变量ξ服从正态分布N(a,σ2),且P(ξ<2)＝0.3,则P(3<ξ<4)的值为( ) A.0.2 C.0.4 【参考答案】：A 5【试题解析】：用分层抽样,女生应抽取人数为33×＝3,所以a＝3. 55所以ξ服从正态分布N(3,σ2),该正态曲线关于直线x＝3对称. 即P(ξ<2)＝0.3,所以P(ξ>4)＝0.3. 11 方法一：所以P(3<ξ<4)＝P(2<ξ<4)＝(1－2×0.3)＝0.2.故选A. 22方法二：所以P(3<ξ<4)＝P(ξ>3)－P(ξ>4)＝0.5－0.3＝0.2.故选A. 11.(2018·吉林一中)若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7,P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5.设ξ～N(1,σ2),且P(ξ≥3)＝0.158 7,则σ＝________. 【参考答案】：2 1 【试题解析】：∵P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7,∴P(ξ≥μ＋σ)＝×(1－0.682 7)＝0.158 7,∵ξ～ 2N(1,σ2),P(ξ≥1＋σ)＝0.158 7＝P(ξ≥3),∴1＋σ＝3,即σ＝2. 12.如图所示,随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),已知P(ξ<0)＝0.3,则P(ξ<2)＝________. 【参考答案】：0.7 【试题解析】：由题意可知,正态分布的图像关于直线x＝1对称,所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2),又P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2,所以P(ξ<2)＝0.7. 13.(2019·广东江门模拟)已知随机变量ξ～N(1,4),且P(ξ<3)＝0.84,则P(－1<ξ<1)＝________. 【参考答案】：0.34 B.0.3 D.0.6 B.1 700 D.8 000 1 【试题解析】：P(－1<ξ<1)＝P(1<ξ<3)＝P(ξ<3)－＝0.84－0.5＝0.34. 2 14.(2019·云南高三统考)某校1 000名高三学生参加了一次数学考试,这次考试考生的分数服从正态分布N(90,σ2).若分数在(70,110]内的概率为0.7,估计这次考试分数不超过70的人数为________. 【参考答案】：150 【试题解析】：记考试成绩为ξ,则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称.因为1 P(70<ξ≤110)＝0.7,所以P(ξ≤70)＝P(ξ>110)＝×(1－0.7)＝0.15,所以这次考试分数不超过 270的人数为1 000×0.15＝150. 15.(2019·武汉四月调研)某市高中某学科竞赛中,某区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示. － (1)求这4 000名考生的平均成绩x(同一组中数据用该组区间中点值作代表)； － (2)认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取考生的平均成绩x和考生成绩的方差s2,那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况,现从全市参赛考生中随机抽取4名考生,记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ,求P(ξ≤3).(精确到0.001) 附：①s2＝204.75,204.75＝14.31； ②若z～N(μ,σ2),则P(μ－σ 【参考答案】：(1)70.5 (2)634 (3)0.499 【试题解析】：(1)由题意知： 中间值 概率 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 － ∴x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分), － ∴这4 000名考生的平均成绩x为70.5分. － (2)由题知z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ＝x＝70.5,σ2＝204.75,σ＝14.31, ∴z服从正态分布N(μ,σ2),即N(70.5,14.312). 而P(μ－σ 1－0.682 6 ∴P(z≥84.81)＝＝0.158 7. 2 ∴竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.158 7×4 000＝634.8≈634. (3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1－0.158 7＝0.841 3. 而ξ～B(4,0.841 3), ∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C44×0.841 34≈1－0.501＝0.499. 16.(2019·广东汕头期末)为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表： 直径 /mm 件数 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算,样本的平均值μ＝65,标准差σ＝2.2,以频率值作为概率的估计值. (1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)： ①P(μ－σ 评判规则为：若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲；仅满足其中两个,则等级为乙；若仅满足其中一个,则等级为丙；若全部不满足,则等级为丁,试判断设备M的性能等级. (2)将直径小于等于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品. ①从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)； ②从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数Z的数学期望E(Z). 【参考答案】：(1)丙级 (2)① 33 ② 2525 【试题解析】：(1)依题意,μ－σ＝62.8,μ＋σ＝67.2,μ－2σ＝60.6,μ＋2σ＝69.4,μ－3σ＝58.4,μ＋3σ＝71.6, 80 ∴由题表可知P(μ－σ 100 9498 P(μ－2σ 100100∴该设备M的性能等级为丙. (2)由题表知直径小于或等于μ－2σ的零件有2件,大于μ＋2σ的零件有4件,共计6件. 633 ①从设备M的生产流水线上任取一件,取到次品的频率为＝,依题意Y～B(2,),故 100505033 E(Y)＝2×＝. 5025 ②从100件样品中任意抽取2件,次品数Z的所有可能取值为0,1,2.
高2020届高2017级高考调研第一轮复习理科数学课件作业课时训练88
