中考数学专题复习——分类讨论问题
一、教学目标
使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点
对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点
对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计
1：分式方程无解的分类讨论问题；
2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；
3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用；
4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；
4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
1：分式方程无解的分类讨论问题
3ax4?2?无解，求a? 例题1：（2011武汉）
x?3x?9x?3解：去分母，得：
3(x?3)?ax?4(x?3)?（a-1）x??21
2121??3或-?3或a?1?0a-1a-1?a?8,a??6.或者a?1由已知-猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ a?8或a??6
2a??2无解，求a? 例题2：（2011郴州）
x?1x?1
2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题
例题3：（2010上海）已知方程m2x2?(2m?1)x?1?0有实数根，求m的取值范围。
（1） 当m?0时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=?1
2
（2） 当m?0时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：
21??(2m?1)2?4m2?4m?1?0,即m?-，且m2?0
41综（1）（2）得，m??
4常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略m2?0的条件）
总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，
即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
例题4：（2011益阳）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与
x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是整数。
解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即m2?0，m?0，?1?0,解得m?1.
同理，?2?0,解得m??.??545?m?1且m?0，又因为m为整数?m取?1或1. 4 （1）当m=—1时，第一个方程的根为x??2?22不是整数，所以m=—1舍去。 （2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1.
练习：已知关于ｘ的一元二次方程(m?1)x2?x?1?0有实数根，则ｍ的取值范围是：
?m?1?05?m?且m?1 ?4???0
3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题
例题:5：（2011青海）方程x2?9x?18?0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ 不能确定
例题6：（2011武汉）三角形一边长AB为13cm，另一边AC为15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。（54或84）
例题8：（2011四校联考）一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有BC=2AC,将
其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm或120cm 4：动点问题的分类分类讨论问题
B C A 4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；
例题9：（2011永州）正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离。
解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是
秒，
秒，
秒，
秒，
即5秒，10秒，15秒，20秒。
∴（1）当0≤t<5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|=
(cm)
（2）当5≤t<10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|=
（3）当10≤t<15时，点P在线段CD上，|PD|=|P3D|=30-2t （4）当15≤t≤20时，点P在线段DA上，|PD|=|P4D|=2t-30
D p3 C p4 A p2
p1 B 综上得：|PD|=
总结：本题从运动的观点，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。 4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。 例题10：（2010福建）已知一次函数y??x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。
分析：本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B点坐标(0，33)，A点坐标（9，0）。设P点坐
0)，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别标为(x，3x?33与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在3为(?9，0)、(3，0)、(9?63，0)、(9?63，0)。（不适合条件的解已舍去）
总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧
扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
例11：(2010湖北)如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似。
分析与解答 勾股定理可得AE=5．当△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：
（1） 当DM与BE是对应边时，即
DM15?,DM?155M
A D N
E B
C
DMMN， ?ABAE．（2）当DM与AB是对应边时，
525DM125DMMN?,DM?，即 故DM的长是或． ?5525ABAE5
例题12：（2011湘潭）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使三角形ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。
B 说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，
Q 要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识
A C的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，O A A 是准确全面求解的根本保证．
解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k）；3，交点式。 易得：
y?a(x?1)(x?3)再结合点B(0,3)在抛物线上?y??x2?2x?3
（2） 依题意得AB?10，抛物线的对称轴为x=1,设Q(1，y)
1) 以AQ为底，则有AB=QB,及10?12?(y?3)2解得，y=0或y=6,又因为点（1,6）
在直线AB上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0)
2) 以BQ为底，同理则有AB=AQ,解的Q(1,6) Q(1,?6)
3) 以AB为底，同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).
综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1,6) 、(1,?6)
【作业训练】
1．已知等腰△ABC的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一定有条边等于（ ）
A．7㎝ B．2㎝或7㎝ C．5㎝ D．2㎝或7㎝
2.（2010衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。 Ａ 30 Ｂ 60 Ｃ 30或90 Ｄ 60
3．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相距50千米，则t的值是（ ）
A．2或2．5 B．2或10 C．10或12．5 D．2或12．5
4．已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与⊙O相切的圆的半径一定是（ ）
A．1或5 B．1 C．5 D．不能确定
5.（2011株洲市）两圆的圆心距d=5,他们的半径分别是一元二次方程x2?5x?4?0的两根，判断这两圆的位置关系： .
6．已知点Ｐ是半径为2的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作了长为22的弦AB，连续PB，则PB的长为
7.（2010四校联考）在等腰三角形ABC中，AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个三角形的底边长为：.
8:变换例题12，请问是否在x轴，y轴上存在点P,使得P,B,C三点组成的图形为等腰三角形，请说明理由。 【参考答案】
1．D 2 .C 3. A 4．A 5．外切 6. 2或25 7. 7或11
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